%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%22marimo%3E%3D0.23.9%22%2C%20%22numpy%3E%3D2.0%22%2C%20%22sympy%3E%3D1.13%22%2C%20%22ipython%22%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.25.2%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Center%20of%20Mass%20and%20Moment%20of%20Inertia%0A%0A%20%20%20%20%3E%20Renato%20Naville%20Watanabe%2C%20Marcos%20Duarte%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%3E%20%5BLaboratory%20of%20Biomechanics%20and%20Motor%20Control%5D(https%3A%2F%2Fbmclab.pesquisa.ufabc.edu.br%2F)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%3E%20Federal%20University%20of%20ABC%2C%20Brazil%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20How%20to%20use%20this%20guide%0A%0A%20%20%20%20Start%20with%20weighted%20averages%20for%20particles%2C%20then%20replace%20sums%20by%20integrals%20for%20continuous%20bodies.%20We%20will%20build%20composite%20bodies%2C%20move%20rotation%20axes%2C%20and%20finish%20with%20the%20inertia%20tensor.%20You%20need%20vectors%20and%20basic%20integration%3B%20the%20symbolic%20calculations%20let%20you%20check%20the%20algebra.%0A%0A%20%20%20%20Try%20the%20distributed%20**Exercises**%20before%20opening%20their%20collapsed%20worked%20solutions.%20Then%20use%20the%20**Checkpoint%20questions**%20and%20attempt%20the%20**Problems**%20independently%3B%20their%20panels%20contain%20final%20answers%20only.%20Predict%20the%20effect%20of%20a%20parameter%20change%20before%20running%20it%2C%20and%20check%20units%20and%20limiting%20cases.%0A%0A%20%20%20%20**Opening%20challenge.**%20Hold%20a%20ruler%20first%20at%20its%20middle%20and%20then%20at%20an%20end.%20Its%20mass%20has%20not%20changed%2C%20so%20why%20is%20it%20harder%20to%20rotate%20in%20one%20case%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.vstack(%5B%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.Html(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Csvg%20xmlns%3D%22http%3A%2F%2Fwww.w3.org%2F2000%2Fsvg%22%20viewBox%3D%220%200%20760%20300%22%20role%3D%22img%22%20aria-labelledby%3D%22flight-title%20flight-description%22%20style%3D%22max-width%3A760px%3Bwidth%3A100%25%3Bheight%3Aauto%3Bbackground%3Awhite%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Ctitle%20id%3D%22flight-title%22%3ECenter%20of%20mass%20in%20flight%20and%20the%20effect%20of%20body%20configuration%20on%20rotation%3C%2Ftitle%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cdesc%20id%3D%22flight-description%22%3EOn%20the%20left%2C%20a%20rotating%20rod's%20orange%20center%20of%20mass%20follows%20a%20parabolic%20arc.%20On%20the%20right%2C%20equal%20masses%20closer%20to%20the%20rotation%20axis%20have%20a%20smaller%20moment%20of%20inertia%20and%20a%20larger%20angular%20speed%20for%20the%20same%20angular%20momentum.%20This%20is%20a%20schematic%2C%20not%20a%20recording%20of%20a%20gymnast.%3C%2Fdesc%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cg%20font-family%3D%22sans-serif%22%20fill%3D%22%23172b3a%22%20font-size%3D%2215%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Ctext%20x%3D%2232%22%20y%3D%2228%22%20font-weight%3D%22bold%22%3EI.%20Center%20of%20mass%20in%20flight%3C%2Ftext%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Ctext%20x%3D%22406%22%20y%3D%2228%22%20font-weight%3D%22bold%22%3EII.%20Same%20angular%20momentum%3C%2Ftext%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cpath%20d%3D%22M45%20218%20H325%20M45%20218%20V45%22%20fill%3D%22none%22%20stroke%3D%22%238b98a4%22%20stroke-width%3D%221.5%22%2F%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Ctext%20x%3D%22320%22%20y%3D%22236%22%3Ex%3C%2Ftext%3E%3Ctext%20x%3D%2227%22%20y%3D%2248%22%3Ey%3C%2Ftext%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cpath%20d%3D%22M55%20205%20Q180%20-95%20305%20205%22%20fill%3D%22none%22%20stroke%3D%22%23dd7b18%22%20stroke-width%3D%222.5%22%20stroke-dasharray%3D%225%204%22%2F%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cg%20stroke%3D%22%23237fa1%22%20stroke-width%3D%227%22%20stroke-linecap%3D%22round%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cpath%20d%3D%22M55%20181%20V229%22%2F%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cpath%20d%3D%22M96%20109%20L139%2076%22%2F%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cpath%20d%3D%22M156%2055%20H204%22%2F%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cpath%20d%3D%22M223%2074%20L262%20111%22%2F%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cpath%20d%3D%22M305%20181%20V229%22%2F%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fg%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cg%20fill%3D%22%23dd7b18%22%20stroke%3D%22white%22%20stroke-width%3D%221.5%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Ccircle%20cx%3D%2255%22%20cy%3D%22205%22%20r%3D%225%22%2F%3E%3Ccircle%20cx%3D%22117.5%22%20cy%3D%2292.5%22%20r%3D%225%22%2F%3E%3Ccircle%20cx%3D%22180%22%20cy%3D%2255%22%20r%3D%225%22%2F%3E%3Ccircle%20cx%3D%22242.5%22%20cy%3D%2292.5%22%20r%3D%225%22%2F%3E%3Ccircle%20cx%3D%22305%22%20cy%3D%22205%22%20r%3D%225%22%2F%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fg%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Ctext%20x%3D%2257%22%20y%3D%22260%22%3EOrange%20points%3A%20center%20of%20mass%3C%2Ftext%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cpath%20d%3D%22M376%2045%20V267%22%20stroke%3D%22%23ccd5dc%22%2F%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Ctext%20x%3D%22422%22%20y%3D%2270%22%3ESpread%20out%3C%2Ftext%3E%3Ctext%20x%3D%22600%22%20y%3D%2270%22%3ECompact%3C%2Ftext%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cpath%20d%3D%22M407%20135%20H547%20M595%20135%20H663%22%20stroke%3D%22%23237fa1%22%20stroke-width%3D%225%22%2F%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cg%20fill%3D%22%23237fa1%22%3E%3Ccircle%20cx%3D%22407%22%20cy%3D%22135%22%20r%3D%2211%22%2F%3E%3Ccircle%20cx%3D%22547%22%20cy%3D%22135%22%20r%3D%2211%22%2F%3E%3Ccircle%20cx%3D%22595%22%20cy%3D%22135%22%20r%3D%2211%22%2F%3E%3Ccircle%20cx%3D%22663%22%20cy%3D%22135%22%20r%3D%2211%22%2F%3E%3C%2Fg%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cg%20stroke%3D%22%23dd7b18%22%20stroke-width%3D%222%22%3E%3Cpath%20d%3D%22M477%20100%20V170%20M629%20100%20V170%22%20stroke-dasharray%3D%224%204%22%2F%3E%3C%2Fg%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cg%20fill%3D%22%23dd7b18%22%3E%3Ccircle%20cx%3D%22477%22%20cy%3D%22135%22%20r%3D%225%22%2F%3E%3Ccircle%20cx%3D%22629%22%20cy%3D%22135%22%20r%3D%225%22%2F%3E%3C%2Fg%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Ctext%20x%3D%22425%22%20y%3D%22196%22%3ELarger%20I%3C%2Ftext%3E%3Ctext%20x%3D%22598%22%20y%3D%22196%22%3ESmaller%20I%3C%2Ftext%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Ctext%20x%3D%22414%22%20y%3D%22220%22%3ESmaller%20%7C%CF%89%7C%3C%2Ftext%3E%3Ctext%20x%3D%22592%22%20y%3D%22220%22%3ELarger%20%7C%CF%89%7C%3C%2Ftext%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Ctext%20x%3D%22446%22%20y%3D%22260%22%3EH%20%3D%20I%CF%89%20about%20the%20rotation%20axis%3C%2Ftext%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3Ctext%20x%3D%2232%22%20y%3D%22289%22%20fill%3D%22%23536674%22%20font-size%3D%2213%22%3ESchematic%20only%3B%20not%20a%20reconstruction%20of%20Daiane%20dos%20Santos's%20recorded%20performance.%3C%2Ftext%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fg%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3C%2Fsvg%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20Daiane%20dos%20Santos's%20**Dos%20Santos%20I**%20is%20a%20piked%20double%20Arabian%3A%20a%20half%20twist%20into%20a%20double%20front%20flip%20in%20a%20piked%20position.%20The%20%5Boriginal%20BMClab%20analysis%20of%20her%20performance%5D(https%3A%2F%2Fbmclab.pesquisa.ufabc.edu.br%2Fthe-dos-santos-movement%2F)%20illustrates%20two%20ideas.%20Its%20original%20animation%20is%20currently%20unavailable%3B%20the%20schematic%20above%20explains%20the%20physics%20and%20is%20not%20a%20reconstruction%20of%20her%20movement.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**I.%20Translation.**%20During%20an%20aerial%20phase%2C%20the%20center%20of%20mass%20follows%20a%20parabola%20if%20gravity%20is%20uniform%20and%20air%20resistance%20is%20negligible.%20Changing%20body%20shape%20or%20orientation%20does%20not%20change%20this%20center-of-mass%20trajectory.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**II.%20Rotation.**%20With%20negligible%20external%20torque%2C%20angular%20momentum%20is%20conserved.%20Bringing%20mass%20closer%20to%20the%20flip%20axis%2C%20as%20in%20a%20pike%2C%20reduces%20the%20moment%20of%20inertia%20about%20that%20axis%20and%20increases%20angular%20speed%20in%20a%20single-axis%20model.%20A%20twisting%20gymnast%20requires%20a%20three-dimensional%20analysis%3B%20the%20relation%20%24H%3DI%5Comega%24%20here%20illustrates%20rotation%20about%20a%20principal%20axis.%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20*Original%20performance%20and%20biomechanical%20analysis%3A%20Daiane%20dos%20Santos%20and%20BMClab.%20The%20original%20recording%20used%20an%20oblique%20view%2C%20not%20a%20view%20perpendicular%20to%20the%20sagittal%20plane.*%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%2C%0A%20%20%20%20%5D)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Python%20setup%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20%23%20import%20the%20necessary%20libraries%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20sympy%20as%20sym%0A%20%20%20%20from%20IPython.display%20import%20display%2C%20Math%0A%20%20%20%20from%20sympy.vector%20import%20CoordSys3D%0A%0A%20%20%20%20return%20CoordSys3D%2C%20Math%2C%20display%2C%20sym%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20The%20following%20LaTeX%20commands%20format%20the%20vector%20notation%20used%20in%20this%20guide.%0A%0A%20%20%20%20%3Cdiv%20hidden%3E%0A%20%20%20%20%5Crenewcommand%7B%5Crequire%7D%5B1%5D%7B%7D%0A%20%20%20%20%5Cnewcommand%7B%5Crequire%7D%5B1%5D%7B%7D%24%5Crequire%7Bbegingroup%7D%5Crequire%7Brenewcommand%7D%24%24%5Cgdef%5Chat%231%7B%5Cwidehat%7B%5Cmathbf%7B%231%7D%7D%7D%24%24%5Crequire%7Bbegingroup%7D%5Crequire%7Bnewcommand%7D%24%24%5Cgdef%5Cvecb%231%7B%5Cvec%7B%5Cbf%7B%231%7D%7D%7D%24%5Cvskip-%5Cparskip%0A%20%20%20%20%5Cvskip-%5Cbaselineskip%0A%20%20%20%20%3C%2Fdiv%3E%0A%0A%20%20%20%20Execute%20this%20cell%20to%20format%20a%20versor%20with%20a%20hat%20and%20bold%20font%20or%20edit%20it%20to%20add%20custom%20commands.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Center%20of%20mass%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Set%20of%20particles%0A%0A%20%20%20%20The%20center%20of%20mass%20of%20a%20set%20of%20particles%20is%20defined%20as%20the%20point%20(position)%20where%20the%20sum%20of%20the%20vectors%20linking%20this%20point%20to%20each%20particle%2C%20weighted%20by%20its%20mass%2C%20is%20zero.%20By%20%5Bmass%5D(https%3A%2F%2Fen.wikipedia.org%2Fwiki%2FMass)%20we%20mean%20the%20inertial%20mass%2C%20a%20quantitative%20measure%20of%20an%20object's%20resistance%20to%20linear%20acceleration.%0A%0A%20%20%20%20Consider%20the%20set%20of%20particles%20shown%20below.%0A%0A%20%20%20%20%3Cfigure%20aria-describedby%3D%22figure-caption-1%22%3E%3Ccenter%3E%3Cimg%20src%3D'https%3A%2F%2Fgithub.com%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fimages%2Fcmparticles.png%3Fraw%3D1'%20width%3D400%20alt%3D'center%20of%20mass%20of%20particles'%2F%3E%3C%2Fcenter%3E%3C%2Ffigure%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20id%3D%22figure-caption-1%22%20class%3D%22figure-caption%22%20style%3D%22display%3Ablock%3Btext-align%3Acenter%3Bfont-style%3Aitalic%22%3EFigure.%20The%20center%20of%20mass%20of%20a%20set%20of%20particles.%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20The%20sum%20of%20the%20vectors%20linking%20the%20center%20of%20mass%20to%20each%20particle%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5Enm_i%7B%5Cvec%7Br%7D_%7Bi%2Fcm%7D%7D%20%26%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5Enm_i%5Cleft(%7B%5Cvec%7Br%7D_i%7D%20-%20%7B%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm%7D%7D%5Cright)%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5Enm_i%7B%5Cvec%7Br%7D_i%7D%20-%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5Enm_i%7B%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm%7D%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5Enm_i%7B%5Cvec%7Br%7D_i%7D%20-%20%7B%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm%7D%7D%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5Enm_i%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24n%24%20is%20the%20number%20of%20particles.%0A%0A%20%20%20%20Now%2C%20we%20equal%20this%20sum%20to%20zero%20and%20isolate%20%24%7B%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm%7D%7D%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5Enm_i%7B%5Cvec%7Br%7D_i%7D%20-%20%7B%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm%7D%7D%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5Enm_i%20%3D%200%20%5Cquad%20%5Clongrightarrow%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm%7D%20%26%3D%20%5Cdfrac%7B%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5Enm_i%7B%5Cvec%7Br%7D_i%7D%7D%7B%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5Enm_i%7D%20%26%5Cphantom%7B%3D%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Cdfrac%7B%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5Enm_i%7B%5Cvec%7Br%7D_i%7D%7D%7Bm_T%7D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24m_T%24%20is%20the%20total%20mass%20of%20the%20particles.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Example%3A%20Two%20particles%0A%0A%20%20%20%20Consider%20two%20particles%20with%20masses%20%24m_1%24%20and%20%24m_2%24%2C%20the%20center%20of%20mass%20of%20the%20system%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm%7D%20%26%3D%20%5Cdfrac%7Bm_1%5Cvec%7Br%7D_1%20%2B%20m_2%5Cvec%7Br%7D_2%7D%7Bm_1%2Bm_2%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Cdfrac%7Bm_1%5Cvec%7Br%7D_1%20%2B%20m_2%5Cvec%7Br%7D_1%20-%20m_2%5Cvec%7Br%7D_1%20%2B%20m_2%5Cvec%7Br%7D_2%7D%7Bm_1%2Bm_2%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Cdfrac%7B(m_1%2Bm_2)%5Cvec%7Br%7D_1%7D%7Bm_1%2Bm_2%7D%20%2B%20%5Cdfrac%7Bm_2(%5Cvec%7Br%7D_2%20-%20%5Cvec%7Br%7D_1)%7D%7Bm_1%2Bm_2%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm%7D%20%26%3D%20%5Cvec%7Br%7D_1%20%2B%20%5Cdfrac%7Bm_2%7D%7Bm_1%2Bm_2%7D(%5Cvec%7Br%7D_2%20-%20%5Cvec%7Br%7D_1)%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Can%20you%20guess%20what%20is%20the%20expression%20above%20if%20we%20rewrite%20it%20in%20relation%20to%20vector%20%24%5Cvec%7Br%7D_%7B2%7D%24%2C%20i.e.%2C%20%24%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm%7D%20%3D%20%5Cvec%7Br%7D_%7B2%7D%20%2B%20%5Cldots%24%20%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Exercise%201%20%E2%80%94%20Balance%20two%20particles.**%20Two%20particles%20of%202%20kg%20and%203%20kg%20lie%20at%20%24x%3D0%24%20and%20%24x%3D1%24%20m.%20Find%20their%20center%20of%20mass%20and%20explain%20which%20particle%20it%20is%20closer%20to.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Solution%20to%20Exercise%201%0A%0A%20%20%20%20%24x_C%3D(2%5Ccdot0%2B3%5Ccdot1)%2F(2%2B3)%3D0.6%24%20m.%20It%20lies%200.4%20m%20from%20the%20heavier%20particle%20and%200.6%20m%20from%20the%20lighter%20one.%20The%20distances%20give%20equal%20moments%20about%20the%20center.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Rigid%20body%0A%0A%20%20%20%20For%20a%20rigid%20body%2C%20the%20center%20of%20mass%20is%20defined%20as%20the%20point%20where%20the%20integral%20of%20the%20vectors%20%20linking%20this%20point%20to%20each%20differential%20part%20of%20mass%2C%20weighted%20by%20this%20differential%20mass%2C%20is%20zero.%0A%0A%20%20%20%20%3Cfigure%20aria-describedby%3D%22figure-caption-2%22%3E%3Ccenter%3E%3Cimg%20src%3D'https%3A%2F%2Fgithub.com%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fimages%2Fcmbody.png%3Fraw%3D1'%20width%3D300%20alt%3D'center%20of%20mass%20of%20a%20rigid%20body'%2F%3E%3C%2Fcenter%3E%3C%2Ffigure%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20id%3D%22figure-caption-2%22%20class%3D%22figure-caption%22%20style%3D%22display%3Ablock%3Btext-align%3Acenter%3Bfont-style%3Aitalic%22%3EFigure.%20The%20center%20of%20mass%20of%20a%20rigid%20body.%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20This%20integral%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20%5Cint%5Climits_%7BB%7D%20%7B%5Cvec%7Br%7D_%7B%2Fcm%7D%7D%20%5Cmathrm%20d%20m%20%26%3D%20%5Cint%5Climits_%7BB%7D(%5Cvec%7Br%7D-%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm%7D)%20%5Cmathrm%20d%20m%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Cint%5Climits_%7BB%7D%20%7B%5Cvec%7Br%7D%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20-%20%5Cint%5Climits_%7BB%7D%7B%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm%7D%7D%20%5Cmathrm%20d%20m%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Cint%5Climits_%7BB%7D%20%7B%5Cvec%7Br%7D%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20-%20%7B%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm%7D%7D%5Cint%5Climits_%7BB%7D%5C%2C%20%5Cmathrm%20d%20m%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Now%20we%20equal%20this%20integral%20to%20zero%20and%20isolate%20%24%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm%7D%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20%5Cint%5Climits_%7BB%7D%20%5Cvec%7Br%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20-%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm%7D%5Cint%5Climits_%7BB%7D%5C%2C%20%5Cmathrm%20d%20m%20%3D%200%20%5Clongrightarrow%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7B%5Cint%5Climits_%7BB%7D%7B%5Cvec%7Br%7D%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%7D%7B%5Cint%5Climits_%7BB%7D%5C%2C%20%5Cmathrm%20d%20m%7D%20%20%3D%20%5Cdfrac%7B%20%5Cint%5Climits_%7BB%7D%20%5Cvec%7Br%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%7D%7Bm_B%7D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24m_B%24%20is%20the%20mass%20of%20the%20body.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Example%3A%20Bar%0A%0A%20%20%20%20Let's%20calculate%20the%20center%20of%20mass%20of%20a%20homogeneous%20(with%20equal%20density)%20bar%20shown%20below.%0A%0A%20%20%20%20%3Cfigure%20aria-describedby%3D%22figure-caption-3%22%3E%3Ccenter%3E%3Cimg%20src%3D'https%3A%2F%2Fgithub.com%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fimages%2Fbar.png%3Fraw%3D1'%20width%3D200%20alt%3D'bar'%2F%3E%3C%2Fcenter%3E%3C%2Ffigure%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20id%3D%22figure-caption-3%22%20class%3D%22figure-caption%22%20style%3D%22display%3Ablock%3Btext-align%3Acenter%3Bfont-style%3Aitalic%22%3EFigure.%20A%20bar.%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%20%5Cint%20%5Cvec%7Br%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%7D%7Bm%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20mass%20of%20the%20bar%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20m%20%3D%20%5Crho%20l%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20integral%20can%20be%20computed%20as%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cint%20%5Cvec%7Br%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%3D%20%5Crho%5Cint%5Climits_0%5El%20x%5C%2C%5Cmathrm%20d%20x%20%3D%5Crho%5Cfrac%7Bl%5E2%7D%7B2%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20So%2C%20the%20center%20of%20mass%20of%20the%20bar%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7B%5Crho%5Cdfrac%7Bl%5E2%7D%7B2%7D%7D%7B%5Crho%20l%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7Bl%7D%7B2%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20center%20of%20mass%20of%20a%20homogeneous%20bar%20is%20in%20the%20middle%20of%20the%20bar.%0A%0A%20%20%20%20A%20key%20aspect%20in%20the%20calculation%20of%20the%20integral%20above%20is%20to%20transform%20the%20differential%20of%20the%20variable%20mass%20%24%5Cmathrm%20d%20m%24%20into%20the%20differential%20of%20the%20variable%20displacement%20%24%5Cmathrm%20d%20x%24%20(or%20area%20or%20volume%20for%20a%20surface%20or%20a%20solid)%20because%20the%20body's%20density%20is%20known.%0A%0A%20%20%20%20Let's%20use%20Sympy%2C%20a%20symbolic%20library%20in%20Python%2C%20to%20solve%20this%20integral.%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20A%20definite%20integral%20of%20integrand%20%60f%60%20with%20respect%20to%20variable%20%60x%60%20over%20interval%20%60%5Ba%2Cb%5D%60%20can%20be%20calculated%20with%20the%20function%20%60integrate%60%3A%0A%0A%20%20%20%20%60%60%60python%0A%20%20%20%20sym.integrate(f%2C%20(x%2C%20a%2C%20b))%0A%20%20%20%20%60%60%60%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(Math%2C%20display%2C%20sym)%3A%0A%20%20%20%20%23%20Helping%20function%0A%20%20%20%20def%20print2(lhs%2C%20rhs)%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22Rich%20display%20of%20Sympy%20expression%20as%20lhs%20%3D%20rhs.%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20display(Math(r'%7B%7D%20%3D%20'.format(lhs)%20%2B%20sym.latex(sym.simplify(rhs%2C%20ratio%3D1.7))))%0A%0A%20%20%20%20return%20(print2%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(print2%2C%20sym)%3A%0A%20%20%20%20_x%20%3D%20sym.symbols('x')%0A%20%20%20%20(_rho%2C%20_ell)%20%3D%20sym.symbols('rho%20ell'%2C%20positive%3DTrue)%0A%20%20%20%20_m%20%3D%20_rho%20*%20_ell%0A%20%20%20%20rcm%20%3D%20_rho%20*%20sym.integrate(_x%2C%20(_x%2C%200%2C%20_ell))%20%2F%20_m%0A%20%20%20%20print2('%5C%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm%7D'%2C%20rcm)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Example%3A%20Triangle%0A%0A%20%20%20%20Let's%20compute%20the%20center%20of%20mass%20of%20the%20triangle%20shown%20below.%0A%0A%20%20%20%20%3Cfigure%20aria-describedby%3D%22figure-caption-4%22%3E%3Ccenter%3E%3Cimg%20src%3D'https%3A%2F%2Fgithub.com%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fimages%2Ftriangle.png%3Fraw%3D1'%20width%3D400%20alt%3D'triangle'%2F%3E%3C%2Fcenter%3E%3C%2Ffigure%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20id%3D%22figure-caption-4%22%20class%3D%22figure-caption%22%20style%3D%22display%3Ablock%3Btext-align%3Acenter%3Bfont-style%3Aitalic%22%3EFigure.%20A%20triangle.%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20The%20center%20of%20mass%20is%20given%20by%20Eq.(%5Cref%7Beq%3Acm%7D)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cint%20%5Cvec%7Br%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%7D%7Bm%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20mass%20of%20the%20triangle%20w.r.t.%20its%20density%20and%20dimensions%20is%20equal%20to%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20m%20%3D%20%5Crho%20A%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Crho%20bh%7D%7B2%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20In%20Eq.(%5Cref%7Beq%3Aint_area%7D)%2C%20the%20differential%20of%20the%20variable%20mass%20%24%5Cmathrm%20d%20m%24%20will%20be%20transformed%20into%20the%20differential%20of%20the%20variable%20area%20%24%5Cmathrm%20d%20A%24%2C%20which%20in%20turn%20is%20calculated%20as%20%24%5Cmathrm%20d%20x%20%5Cmathrm%20d%20y%24%2C%20resulting%20in%20a%20double%20integral%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cint%20%5Cvec%7Br%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%3D%20%5Crho%5Cint%20%5Cvec%7Br%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20A%20%3D%20%5Crho%20%5Cint%5Climits_x%20%5Cint%5Climits_y%20(x%5Chat%7Bi%7D%20%2B%20y%5Chat%7Bj%7D)%5C%2C%5Cmathrm%20d%20y%20%5Cmathrm%20d%20x%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20integral%20can%20be%20computed%20by%20separating%20it%20into%20two%20parts%3A%20one%20part%20we%20integrate%20in%20the%20%24x%24%20direction%20from%20%240%24%20to%20%24p%24%2C%20and%20the%20other%20part%20from%20%24p%24%20to%20%24b%24.%20The%20integration%20in%20the%20%24y%24%20direction%20will%20be%20from%20%240%24%20to%20%24%5Cfrac%7Bxh%7D%7Bp%7D%24%20in%20the%20first%20part%20and%20from%20%240%24%20to%20%24%5Cfrac%7B(b-x)h%7D%7Bb-p%7D%24%20in%20the%20second%20part%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cint%20%5Cvec%7Br%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%3D%20%5Crho%5Cleft%5B%5Cint%5Climits_0%5Ep%5Cint%5Climits_0%5E%5Cfrac%7Bxh%7D%7Bp%7D%20(x%5Chat%7Bi%7D%20%2B%20y%5Chat%7Bj%7D)%20%5C%2C%5Cmathrm%20d%20y%5Cmathrm%20d%20x%20%2B%20%5Cint%5Climits_p%5Eb%5Cint%5Climits_0%5E%5Cfrac%7B(b-x)h%7D%7Bb-p%7D%20(x%5Chat%7Bi%7D%20%2B%20y%5Chat%7Bj%7D)%20%5C%2C%5Cmathrm%20d%20y%5Cmathrm%20d%20x%5Cright%5D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20So%2C%20the%20center%20of%20mass%20of%20the%20triangle%20will%20be%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm%7D%20%26%3D%20%5Cdfrac%7B%5Crho%5Cleft%5B%5Cint%5Climits_0%5Ep%5Cint%5Climits_0%5E%5Cfrac%7Bxh%7D%7Bp%7D%20(x%5Chat%7Bi%7D%20%2B%20y%5Chat%7Bj%7D)%20%5C%2C%5Cmathrm%20d%20y%5Cmathrm%20d%20x%20%2B%20%5Cint%5Climits_p%5Eb%5Cint%5Climits_0%5E%5Cfrac%7B(b-x)h%7D%7Bb-p%7D%20(x%5Chat%7Bi%7D%20%2B%20y%5Chat%7Bj%7D)%20%5C%2C%5Cmathrm%20d%20y%5Cmathrm%20d%20x%5Cright%5D%7D%7B%5Cdfrac%7B%5Crho%20bh%7D%7B2%7D%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Cdfrac%7B2%5Cleft%5B%5Cint%5Climits_0%5Ep%5Cint%5Climits_0%5E%5Cfrac%7Bxh%7D%7Bp%7D%20(x%5Chat%7Bi%7D%20%2B%20y%5Chat%7Bj%7D)%20%5C%2C%5Cmathrm%20d%20y%5Cmathrm%20d%20x%20%2B%20%5Cint%5Climits_p%5Eb%5Cint%5Climits_0%5E%5Cfrac%7B(b-x)h%7D%7Bb-p%7D%20(x%5Chat%7Bi%7D%20%2B%20y%5Chat%7Bj%7D)%20%5C%2C%5Cmathrm%20d%20y%5Cmathrm%20d%20x%5Cright%5D%7D%7Bbh%7D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20integral%20above%20will%20be%20solved%20using%20the%20Symbolic%20library%20of%20the%20Python.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(CoordSys3D%2C%20print2%2C%20sym)%3A%0A%20%20%20%20G%20%3D%20CoordSys3D('')%0A%20%20%20%20(_x%2C%20y)%20%3D%20sym.symbols('x%2C%20y')%0A%20%20%20%20(_rho%2C%20_h%2C%20p%2C%20b)%20%3D%20sym.symbols('rho%2C%20h%2C%20p%2C%20b'%2C%20positive%3DTrue)%0A%20%20%20%20xcm%20%3D%202%20*%20(sym.integrate(sym.integrate(_x%2C%20(y%2C%200%2C%20_x%20*%20_h%20%2F%20p))%2C%20(_x%2C%200%2C%20p))%20%2B%20sym.integrate(sym.integrate(_x%2C%20(y%2C%200%2C%20(b%20-%20_x)%20*%20_h%20%2F%20(b%20-%20p)))%2C%20(_x%2C%20p%2C%20b)))%20%2F%20(b%20*%20_h)%0A%20%20%20%20ycm%20%3D%202%20*%20(sym.integrate(sym.integrate(y%2C%20(y%2C%200%2C%20_x%20*%20_h%20%2F%20p))%2C%20(_x%2C%200%2C%20p))%20%2B%20sym.integrate(sym.integrate(y%2C%20(y%2C%200%2C%20(b%20-%20_x)%20*%20_h%20%2F%20(b%20-%20p)))%2C%20(_x%2C%20p%2C%20b)))%20%2F%20(b%20*%20_h)%0A%20%20%20%20print2('x_%7Bcm%7D'%2C%20xcm)%0A%20%20%20%20print2('y_%7Bcm%7D'%2C%20ycm)%0A%20%20%20%20return%20G%2C%20xcm%2C%20ycm%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Finally%2C%20the%20center%20of%20mass%20of%20the%20triangle%20is%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(G%2C%20print2%2C%20xcm%2C%20ycm)%3A%0A%20%20%20%20print2('%5C%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm%7D'%2C%20xcm*G.i%20%2B%20ycm*G.j)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Center%20of%20mass%20of%20a%20complex%20system%0A%0A%20%20%20%20Now%2C%20we%20will%20consider%20a%20set%20of%20%24n%24%20bodies.%20The%20center%20of%20mass%20of%20this%20set%20of%20bodies%20can%20be%20computed%20by%20integrating%20the%20Eq.(%5Cref%7Beq%3Acm%7D)%20over%20all%20bodies%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm%7D%20%26%3D%20%5Cdfrac%7B%20%5Cint%5Climits_%7BB1%2CB2%2C%5Cldots%2CBn%7D%5Cvec%7Br%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%7D%7Bm_%7BB1%7D%2Bm_%7BB2%7D%2B%20%5Cldots%20%2B%20m_%7BBn%7D%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Cdfrac%7B%5Cint%5Climits_%7BB1%7D%5Cvec%7Br%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%2B%5Cint%5Climits_%7BB2%7D%5Cvec%7Br%7D%5C%2Cdm%2B%5Cldots%2B%5Cint%5Climits_%7BBn%7D%5Cvec%7Br%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%7D%7Bm_%7BB1%7D%2Bm_%7BB2%7D%2B%5Cldots%2B%20m_%7BBn%7D%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Cdfrac%7B%5Cdfrac%7B%5Cint%5Climits_%7BB1%7D%5Cvec%7Br%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%7D%7Bm_%7BB1%7D%7Dm_%7BB1%7D%20%2B%20%5Cdfrac%7B%5Cint%5Climits_%7BB2%7D%5Cvec%7Br%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%7D%7Bm_%7BB2%7D%7Dm_%7BB2%7D%20%2B%5Cldots%2B%20%5Cdfrac%7B%5Cint%5Climits_%7BBn%7D%5Cvec%7Br%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%7D%7Bm_%7BBn%7D%7Dm_%7BBn%7D%7D%7Bm_%7BB1%7D%2Bm_%7BB2%7D%2B%5Cldots%2B%20m_%7BBn%7D%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Cdfrac%7B%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm_1%7D%20m_%7BB1%7D%20%2B%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm_2%7Dm_%7BB2%7D%20%2B%5Cldots%2B%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm_n%7Dm_%7BBn%7D%7D%7Bm_%7BB1%7D%2Bm_%7BB2%7D%2B%5Cldots%2B%20m_%7BBn%7D%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm%7D%20%26%3D%20%5Cdfrac%7B%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm_1%7D%20m_%7BB1%7D%20%2B%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm_2%7Dm_%7BB2%7D%20%2B%5Cldots%2B%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm_n%7Dm_%7BBn%7D%7D%7Bm_T%7D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm_i%7D%24%20is%20%20the%20center%20of%20mass%20of%20the%20body%20%24i%24%2C%20%24m_%7BBi%7D%24%20is%20the%20mass%20of%20the%20body%20%24i%24%20and%20%24m_T%24%20is%20the%20total%20mass%20of%20all%20bodies.%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20The%20expression%20above%20shows%20that%20we%20can%20interpret%20each%20body%20as%20a%20particle%20with%20its%20mass%20and%20position.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Example%3A%20Three%20bars%0A%0A%20%20%20%20Let's%20compute%20the%20center%20of%20mass%20of%20the%20system%20shown%20below.%0A%0A%20%20%20%20%3Cfigure%20aria-describedby%3D%22figure-caption-5%22%3E%3Ccenter%3E%3Cimg%20src%3D'https%3A%2F%2Fgithub.com%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fimages%2Fthreebars.png%3Fraw%3D1'%20width%3D350%20alt%3D'system%20with%20three%20bars'%2F%3E%3C%2Fcenter%3E%3C%2Ffigure%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20id%3D%22figure-caption-5%22%20class%3D%22figure-caption%22%20style%3D%22display%3Ablock%3Btext-align%3Acenter%3Bfont-style%3Aitalic%22%3EFigure.%20A%20system%20with%20three%20bars.%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20The%20system%20can%20be%20seen%20as%20a%20set%20of%20three%20bars%3B%20we%20can%20compute%20the%20center%20of%20mass%20by%20considering%20each%20bar%20as%20a%20particle%20located%20at%20its%20respective%20center%20of%20mass.%0A%0A%20%20%20%20We%20have%20previously%20computed%20the%20center%20of%20mass%20of%20a%20homogeneous%20bar%20as%20being%20at%20its%20center.%20So%2C%20the%20center%20of%20mass%20of%20each%20bar%20of%20the%20system%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm_1%7D%20%26%3D%20-%5Cfrac%7Bl_1%7D%7B2%7D%5Chat%7Bj%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm_2%7D%20%26%3D%20%5Cfrac%7Bl_2%7D%7B2%7D%5Csin(%5Ctheta_1)%5Chat%7Bi%7D-%5Cfrac%7Bl_2%7D%7B2%7D%5Ccos(%5Ctheta_1)%5Chat%7Bj%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm_3%7D%20%26%3D%20l_2%5Csin(%5Ctheta_1)%5Chat%7Bi%7D-l_2%5Ccos(%5Ctheta_1)%5Chat%7Bj%7D%2B%5Cfrac%7Bl_3%7D%7B2%7D%5Csin(%5Ctheta_2)%5Chat%7Bi%7D-%5Cfrac%7Bl_3%7D%7B2%7D%5Ccos(%5Ctheta_2)%5Chat%7Bj%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Cleft(l_2%5Csin(%5Ctheta_1)%2B%5Cfrac%7Bl_3%7D%7B2%7D%5Csin(%5Ctheta_2)%20%5Cright)%5Chat%7Bi%7D%20%2B%20%5Cleft(l_2%5Ccos(%5Ctheta_1)-%5Cfrac%7Bl_3%7D%7B2%7D%5Ccos(%5Ctheta_2)%20%5Cright)%5Chat%7Bj%7D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20So%2C%20the%20center%20of%20mass%20of%20the%20system%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm%7D%20%26%3D%20%5Cdfrac%7Bm_1%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm_1%7D%2Bm_2%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm_2%7D%2Bm_3%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm_3%7D%7D%7Bm_1%2Bm_2%2Bm_3%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Cdfrac%7B-m_1%5Cfrac%7Bl_1%7D%7B2%7D%5Chat%7Bj%7D%20%2B%20m_2(%5Cfrac%7Bl_2%7D%7B2%7D%5Csin(%5Ctheta_1)%5Chat%7Bi%7D-%5Cfrac%7Bl_2%7D%7B2%7D%5Ccos(%5Ctheta_1)%5Chat%7Bj%7D)%2Bm_3%20%5Cleft%5B%5Cleft(l_2%5Csin(%5Ctheta_1)%2B%5Cfrac%7Bl_3%7D%7B2%7D%5Csin(%5Ctheta_2)%20%5Cright)%5Chat%7Bi%7D%20%2B%20%5Cleft(l_2%5Ccos(%5Ctheta_1)-%5Cfrac%7Bl_3%7D%7B2%7D%5Ccos(%5Ctheta_2)%20%5Cright)%5Chat%7Bj%7D%20%5Cright%5D%7D%7Bm_1%2Bm_2%2Bm_3%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Cdfrac%7Bm_2%5Cfrac%7Bl_2%7D%7B2%7D%5Csin(%5Ctheta_1)%5Chat%7Bi%7D%2Bm_3%20%5Cleft(l_2%5Csin(%5Ctheta_1)%2B%5Cfrac%7Bl_3%7D%7B2%7D%5Csin(%5Ctheta_2)%20%5Cright)%5Chat%7Bi%7D%7D%7Bm_1%2Bm_2%2Bm_3%7D%2B%5Cdfrac%7B-m_1%5Cfrac%7Bl_1%7D%7B2%7D%5Chat%7Bj%7D%20-%20m_2%5Cfrac%7Bl_2%7D%7B2%7D%5Ccos(%5Ctheta_1)%5Chat%7Bj%7D%2Bm_3%20%5Cleft(l_2%5Ccos(%5Ctheta_1)-%5Cfrac%7Bl_3%7D%7B2%7D%5Ccos(%5Ctheta_2)%20%5Cright)%5Chat%7Bj%7D%7D%7Bm_1%2Bm_2%2Bm_3%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm%7D%20%26%3D%20%5Cdfrac%7Bm_2%5Cfrac%7Bl_2%7D%7B2%7D%5Csin(%5Ctheta_1)%2Bm_3%20%5Cleft(l_2%5Csin(%5Ctheta_1)%2B%5Cfrac%7Bl_3%7D%7B2%7D%5Csin(%5Ctheta_2)%5Cright)%7D%7Bm_1%2Bm_2%2Bm_3%7D%5Chat%7Bi%7D%2B%5Cdfrac%7B-m_1%5Cfrac%7Bl_1%7D%7B2%7D%20-%20m_2%5Cfrac%7Bl_2%7D%7B2%7D%5Ccos(%5Ctheta_1)%2Bm_3%20%5Cleft(l_2%5Ccos(%5Ctheta_1)-%5Cfrac%7Bl_3%7D%7B2%7D%5Ccos(%5Ctheta_2)%20%5Cright)%7D%7Bm_1%2Bm_2%2Bm_3%7D%5Chat%7Bj%7D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Exercise%202%20%E2%80%94%20Use%20a%20composite%20body.**%20Two%20uniform%20rods%20have%20masses%201%20kg%20and%202%20kg%20and%20centers%20at%20%24(0.5%2C0)%24%20and%20%24(1%2C0.5)%24%20m.%20Find%20the%20combined%20center%20without%20integrating%20their%20densities%20again.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Solution%20to%20Exercise%202%0A%0A%20%20%20%20Each%20rod%20can%20be%20represented%20by%20its%20mass%20at%20its%20own%20center%20for%20this%20calculation.%20The%20weighted%20average%20is%20%24%5B(1)(0.5%2C0)%2B(2)(1%2C0.5)%5D%2F3%3D(5%2F6%2C1%2F3)%24%20m.%20This%20replacement%20works%20for%20the%20center%20of%20mass%3B%20inertia%20also%20needs%20each%20rod%E2%80%99s%20own%20inertia.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Center%20of%20gravity%0A%0A%20%20%20%20Center%20of%20gravity%20of%20a%20body%20is%20the%20point%20where%20the%20moment%20of%20force%20caused%20by%20the%20gravitational%20force%20in%20the%20whole%20body%20relative%20to%20this%20point%20is%20zero.%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20For%20the%20body%20%24B%24%2C%20this%20the%20moment%20of%20force%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cvec%7BM%7D_0%20%3D%20%5Cint%5Climits_%7BB%7D%20%5Cvec%7Br%7D_B%20%5C%2C%20%5Ctimes%20%5C%2C%20%5Cvec%7Bg%7D%20%5C%2C%20%5Cmathrm%20d%20m%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20If%20the%20acceleration%20of%20gravity%20being%20applied%20to%20the%20whole%20body%20is%20the%20same%20(for%20all%20practical%20purposes%2C%20in%20Biomechanics%20we%20can%20consider%20it%20the%20same%20in%20the%20whole%20body)%2C%20the%20gravity%20vector%20can%20go%20out%20of%20the%20integral%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20%5Cvec%7BM%7D_0%20%26%3D%20%5Cint%5Climits_%7BB%7D%5Cvec%7Br%7D_B%20%5C%2C%20%5Cmathrm%20d%20m%5C%2C%20%5Ctimes%5C%2C%20%5Cvec%7Bg%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Cint%5Climits_%7BB%7D(%5Cvec%7Br%7D%20-%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm%7D)%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%5C%2C%20%5Ctimes%5C%2C%20%5Cvec%7Bg%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Cleft(%5Cint%5Climits_%7BB%7D%5Cvec%7Br%7D%20%5C%2C%20%5Cmathrm%20d%20m%20-%5Cint%5Climits_%7BB%7D%5Cvec%7Br%7D_%7BG%7D%20%5C%2C%20%5Cmathrm%20d%20m%20%5C%2C%20%5Cright)%20%5Ctimes%20%5C%2C%20%5Cvec%7Bg%7D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Now%2C%20we%20equal%20this%20moment%20to%20zero%20and%20isolate%20%24%5Cvec%7Br%7D_G%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20%5Cleft(%5Cint%5Climits_%7BB%7D%5Cvec%7Br%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20-%5Cint%5Climits_%7BB%7D%5Cvec%7Br%7D_G%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%5Cright)%20%5Ctimes%5C%2C%5Cvec%7Bg%7D%20%3D%200%20%5Clongrightarrow%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%5Cint%5Climits_%7BB%7D%5Cvec%7Br%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20-%5Cint%5Climits_%7BB%7D%5Cvec%7Br%7D_G%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%3D%200%20%5Clongrightarrow%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%5Cint%5Climits_%7BB%7D%5Cvec%7Br%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20-%5Cvec%7Br%7D_G%5Cint%5Climits_%7BB%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%3D%200%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%20%5Clongrightarrow%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%5Cvec%7Br%7D_G%20%3D%20%5Cdfrac%7B%20%5Cint%5Climits_%7BB%7D%5Cvec%7Br%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%7D%7B%5Cint%5Climits_%7BB%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7B%20%5Cint%5Climits_%7BB%7D%5Cvec%7Br%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%7D%7Bm_B%7D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24m_B%24%20is%20the%20mass%20of%20the%20body.%0A%0A%20%20%20%20Note%20that%20in%20this%20case%2C%20when%20the%20gravitational%20acceleration%20is%20constant%2C%20the%20center%20of%20gravity%20%24%5Cvec%7Br%7D_G%24%20is%20equal%20to%20the%20center%20of%20mass%20%24%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Geometric%20center%0A%0A%20%20%20%20For%20a%20rigid%20body%2C%20the%20geometric%20center%20is%20defined%20as%20the%20point%20where%20the%20integral%20of%20the%20vectors%20linking%20this%20point%20to%20each%20differential%20part%20of%20volume%20is%20zero.%0A%0A%20%20%20%20This%20integral%20for%20a%20body%20%24B%24%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20%5Cint%5Climits_%7BB%7D%20%5Cvec%7Br%7D_%7B%2Fgc%7D%20%5Cmathrm%20d%20V%20%26%3D%20%5Cint%5Climits_%7BB%7D%20(%5Cvec%7Br%7D%20-%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bgc%7D)%20%5Cmathrm%20d%20V%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Cint%5Climits_%7BB%7D%20%5Cvec%7Br%7D%5C%2C%20%5Cmathrm%20d%20V%20-%20%5Cint%5Climits_%7BB%7D%5Cvec%7Br%7D_%7Bgc%7D%5C%2C%20%20%5Cmathrm%20d%20V%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Cint%5Climits_%7BB%7D%20%5Cvec%7Br%7D%5C%2C%20%5Cmathrm%20d%20V%20-%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bgc%7D%5Cint%5Climits_%7BB%7D%5C%2C%20%5Cmathrm%20d%20V%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Now%20we%20equal%20this%20integral%20to%20zero%20and%20isolate%20%24%5Cvec%7Br%7D_%7Bgc%7D%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20%5Cint%5Climits_%7BB%7D%20%7B%5Cvec%7Br%7D%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20V%20-%20%7B%5Cvec%7Br%7D_%7Bgc%7D%7D%5Cint%5Climits_%7BB%7D%5C%2C%20%5Cmathrm%20d%20V%20%20%3D%200%20%5Clongrightarrow%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bgc%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7B%20%5Cint%5Climits_%7BB%7D%20%5Cvec%7Br%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20V%7D%7B%5Cint%5Climits_%7BB%7D%5C%2C%20%5Cmathrm%20d%20V%7D%20%20%3D%20%5Cdfrac%7B%20%5Cint%5Climits_%7BB%7D%20%5Cvec%7Br%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20V%7D%7BV%7D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24V%24%20is%20the%20volume%20of%20the%20body.%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20Note%20that%20when%20the%20body%20has%20a%20constant%20density%20%24%5Crho%24%2C%20the%20center%20of%20mass%20is%20equal%20to%20the%20geometric%20center%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm%7D%20%26%3D%20%5Cdfrac%7B%20%5Cint%5Climits_%7BB%7D%20%5Cvec%7Br%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%7D%7Bm_B%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Cdfrac%7B%20%5Cint%5Climits_%7BB%7D%20%5Cvec%7Br%7D%5Crho%5C%2C%5Cmathrm%20d%20V%7D%7B%5Crho%20V%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Cdfrac%7B%20%5Crho%5Cint%5Climits_%7BB%7D%20%5Cvec%7Br%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20V%7D%7B%5Crho%20V%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Cdfrac%7B%20%5Cint%5Climits_%7BB%7D%20%5Cvec%7Br%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20V%7D%7BV%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm%7D%20%26%3D%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bgc%7D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Moment%20of%20rotational%20inertia%0A%0A%20%20%20%20The%20moment%20of%20rotational%20inertia%20(or%20moment%20of%20inertia%20or%20rotational%20inertia)%2C%20equivalent%20to%20mass%20for%20linear%20motion%2C%20is%20a%20quantitative%20measure%20of%20the%20resistance%20to%20rotational%20acceleration%20around%20an%20axis%20of%20a%20distribution%20of%20mass%20in%20space.%0A%0A%20%20%20%20Consider%20the%20linear%20momentum%20of%20a%20particle%20in%20motion%2C%20by%20definition%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cvec%7Bp%7D%20%3D%20m%5Cvec%7Bv%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20angular%20momentum%20of%20a%20particle%20in%20rotational%20motion%2C%20by%20definition%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cvec%7BH%7D_%7B%2FO%7D%20%3D%20%5Cvec%7Br%7D%20%5Ctimes%20%5Cvec%7Bp%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24%5Cvec%7Br%7D%24%20is%20the%20position%20of%20the%20particle%20relative%20to%20the%20chosen%20origin%20%24O%24.%0A%0A%20%20%20%20%3Cfigure%20aria-describedby%3D%22figure-caption-6%22%3E%3Ccenter%3E%3Cimg%20src%3D'https%3A%2F%2Fgithub.com%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fimages%2Fmomentum.png%3Fraw%3D1'%20width%3D150%20style%3D%22margin%3A10px%200px%22%20alt%3D'momentum'%2F%3E%3C%2Fcenter%3E%3C%2Ffigure%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20id%3D%22figure-caption-6%22%20class%3D%22figure-caption%22%20style%3D%22display%3Ablock%3Btext-align%3Acenter%3Bfont-style%3Aitalic%22%3EFigure.%20A%20particle%20at%20position%20%3Cb%3Er%3C%2Fb%3E%20with%20linear%20momentum%20and%20angular%20momentum%20relative%20to%20origin%20O.%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20For%20simplicity%20(later%20we%20will%20generalize%20this%20problem)%2C%20let's%20consider%20that%20the%20particle%20rotates%20at%20a%20fixed%20plane%20and%20at%20a%20fixed%20distance%2C%20%24r%24%2C%20to%20point%20%24O%24%20(i.e.%2C%20circular%20motion).%20In%20this%20case%2C%20the%20magnitude%20of%20the%20angular%20momentum%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20H_%7B%2FO%7D%20%26%3D%20r%20%5C%2C%20p%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20r%20%5C%2C%20m%20%5C%2C%20v%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20r%20%5C%2C%20m%20%5C%2C%20%5Comega%20%5C%2C%20r%20%5C%5C%0A%20%20%20%20H_%7B%2FO%7D%20%26%3D%20m%20%5C%2C%20r%5E2%20%5C%2C%20%5Comega%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24%5Comega%24%20is%20the%20angular%20speed%20of%20rotation.%0A%0A%20%20%20%20Equivalent%20to%20the%20linear%20momentum%2C%20defined%20as%20mass%20(inertia)%20times%20velocity%2C%20in%20the%20equation%20above%2C%20the%20term%20in%20the%20right-hand%20side%20that%20multiplies%20the%20angular%20velocity%20is%20defined%20as%20the%20rotational%20inertia%20or%20moment%20of%20inertia%20of%20the%20particle%20around%20axis%20passing%20through%20point%20%24O%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20I_O%20%3D%20m%20r%5E2%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20value%20of%20the%20moment%20of%20inertia%20is%20a%20single%20positive%20scalar%20for%20a%20planar%20rotation%20or%20a%20tensor%20(a%203%C3%973%20inertia%20matrix)%20for%20a%20three-dimensional%20rotation%20(we%20will%20see%20that%20later).%20Its%20dimension%20is%20%24%5BM%5D%5BL%5D%5E2%24%20and%20its%20SI%20unit%20is%20%24kgm%5E2%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Set%20of%20particles%0A%0A%20%20%20%20For%20a%20system%20of%20%24n%24%20particles%2C%20the%20moment%20of%20inertia%20around%20a%20fixed%20axis%20passing%20by%20point%20%24O%24%20for%20the%20case%20of%20planar%20rotation%20will%20be%20simply%20the%20sum%20of%20the%20moment%20of%20inertia%20of%20each%20particle%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20I_O%20%3D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%20m_%7Bi%7Dr_%7Bi%2FO%7D%5E2%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Example%3A%20System%20with%20two%20particles%0A%0A%20%20%20%20Calculate%20the%20moment%20of%20inertia%20of%20a%20system%20composed%20of%20two%20particles%2C%20each%20with%202-kg%20mass%20and%20spaced%20by%201%20m%2C%20rotating%20around%20an%20axis%20perpendicular%20to%20the%20line%20that%20joins%20the%20two%20particles%20and%20passing%20through%3A%20a)%20center%20of%20mass%20of%20the%20system%20and%20b)%20one%20of%20the%20masses.%0A%0A%20%20%20%20The%20center%20of%20mass%20of%20the%20system%20is%20at%20the%20center%20(centroid)%20of%20the%20system.%20Using%20this%20position%20as%20the%20origin%20of%20the%20system%2C%20the%20moment%20of%20inertia%20of%20the%20system%20around%20its%20center%20of%20mass%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20I_%7Bcm%7D%20%3D%202%20%5Ctimes%20(0.5)%5E2%20%2B%202%20%5Ctimes%20(0.5)%5E2%20%3D%201%20%5C%2C%20kgm%5E2%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20And%20around%20one%20of%20the%20masses%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20I_%7Bm_1%7D%20%3D%202%20%5Ctimes%20(0)%5E2%20%2B%202%20%5Ctimes%20(1)%5E2%20%3D%202%20%5C%2C%20kgm%5E2%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Rigid%20body%0A%0A%20%20%20%20In%20analogy%20to%20the%20determination%20of%20the%20center%20of%20mass%2C%20the%20moment%20of%20inertia%20of%20a%20rigid%20body%20around%20an%20axis%20passing%20through%20a%20point%20%24O%24%20in%20the%20case%20of%20a%20planar%20rotation%20is%20given%20by%20the%20integral%20of%20the%20squared%20distance%20over%20the%20distribution%20of%20mass%20of%20the%20body%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20I_O%20%3D%20%5Cint%5Climits%20r%5E2_%7B%2FO%7D%20%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%5C%5C%0A%20%20%20%20I_O%20%3D%20%5Cint%5Climits%20(x%5E2_%7B%2FO%7D%2By%5E2_%7B%2FO%7D)%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20For%20planar%20movements%2C%20we%20usually%20compute%20the%20moment%20of%20inertia%20relative%20to%20the%20%24z%24%20axis%20(the%20axis%20perpendicular%20to%20the%20plane)%20and%20the%20point%20to%20compute%20the%20moment%20of%20inertia%20is%20the%20body%20center%20of%20mass%20(later%20we%20will%20see%20a%20simple%20form%20to%20calculate%20the%20moment%20of%20inertia%20around%20any%20axis%20parallel%20to%20the%20axis%20passing%20through%20the%20body%20center%20of%20mass).%20So%2C%20a%20common%20notation%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20I%5E%7Bcm%7D_%7Bzz%7D%20%3D%20%5Cint%5Climits%20(x%5E2_%7B%2Fcm%7D%2By%5E2_%7B%2Fcm%7D)%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20double%20%24z%24%20in%20fact%20has%20a%20special%20meaning%20that%20will%20be%20clear%20when%20we%20consider%20possible%20rotations%20in%20three-dimensions.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Example%3A%20Bar%0A%0A%20%20%20%20Let's%20compute%20the%20moment%20of%20inertia%20relative%20to%20the%20center%20of%20mass%20for%20the%20same%20bar%20we%20computed%20its%20center%20of%20mass.%0A%0A%20%20%20%20The%20moment%20of%20inertia%20relative%20to%20the%20center%20of%20mass%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%20%26%3D%20%5Cint%5Climits%20x_%7B%2Fcm%7D%5E2%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Cint%5Climits_%7B-l%2F2%7D%5E%7Bl%2F2%7D%20x%5E2%5Crho%5C%2C%5Cmathrm%20d%20x%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Crho%5Cleft.%5Cleft(%5Cdfrac%7Bx%5E3%7D%7B3%7D%5Cright)%5Cright%7C_%7B-l%2F2%7D%5E%7Bl%2F2%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Crho%5Cleft(%5Cdfrac%7Bl%5E3%7D%7B24%7D%2B%5Cdfrac%7Bl%5E3%7D%7B24%7D%5Cright)%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Crho%5Cdfrac%7Bl%5E3%7D%7B12%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%20%26%3D%20%5Cdfrac%7Bml%5E2%7D%7B12%7D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Or%20using%20the%20Sympy%20library%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(print2%2C%20sym)%3A%0A%20%20%20%20_x%20%3D%20sym.symbols('x')%0A%20%20%20%20(_m1%2C%20_rho%2C%20_ell)%20%3D%20sym.symbols('m%2C%20rho%2C%20ell'%2C%20positive%3DTrue)%0A%20%20%20%20_m%20%3D%20_rho%20*%20_ell%0A%20%20%20%20Icm%20%3D%20_rho%20*%20sym.integrate(_x%20**%202%2C%20(_x%2C%20-_ell%20%2F%202%2C%20_ell%20%2F%202))%20%2F%20_m%0A%20%20%20%20print2('I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D'%2C%20Icm%20*%20_m1)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Exercise%203%20%E2%80%94%20Choose%20a%20rotation%20axis.**%20For%20a%20uniform%20rod%20of%20mass%202%20kg%20and%20length%200.6%20m%2C%20find%20the%20inertia%20about%20the%20perpendicular%20axis%20at%20its%20center%20and%20at%20one%20end.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Solution%20to%20Exercise%203%0A%0A%20%20%20%20The%20center%20value%20is%20%24mL%5E2%2F12%3D0.06%24%20kg%20m%C2%B2.%20Moving%20the%20axis%20by%20%24L%2F2%24%20adds%20%24m(L%2F2)%5E2%3D0.18%24%20kg%20m%C2%B2%2C%20giving%20%240.24%24%20kg%20m%C2%B2%20at%20the%20end.%20The%20factor%20of%20four%20explains%20the%20opening%20challenge.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Radius%20of%20gyration%0A%0A%20%20%20%20Radius%20of%20gyration%20is%20defined%20as%20the%20distance%20that%20a%20particle%20would%20be%20from%20the%20a%20point%20%24O%24%20to%20have%20the%20same%20moment%20of%20inertia%20that%20the%20body%20has.%20So%2C%20the%20radius%20of%20gyration%20is%20defined%20as%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20r_%7Bgyr%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7BI_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%7D%7Bm%7D%7D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Example%3A%20Bar%0A%0A%20%20%20%20For%20a%20homogeneous%20bar%20with%20length%20%24l%24%2C%20the%20radius%20of%20gyration%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20r_%7Bgyr%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7B%5Cdfrac%7Bml%5E2%7D%7B12%7D%7D%7Bm%7D%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cdfrac%7Bl%5E2%7D%7B12%7D%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7Bl%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B6%7D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20This%20means%20that%20for%20the%20bar%2C%20the%20moment%20of%20inertia%20around%20an%20axis%20passing%20by%20its%20center%20of%20mass%20is%20the%20same%20as%20of%20a%20particle%20with%20equal%20mass%20but%20located%20at%20%24r_%7Bgyr%7D%24%20from%20this%20axis.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Parallel%20axis%20theorem%0A%0A%20%20%20%20If%20we%20have%20computed%20the%20moment%20of%20inertia%20relative%20to%20the%20center%20of%20mass%20for%20an%20axis%2C%20for%20example%20the%20%24z%24%20axis%2C%20and%20now%20want%20to%20compute%20the%20moment%20of%20inertia%20relative%20to%20another%20point%20%24O%24%20for%20an%20axis%20parallel%20to%20the%20first%2C%20there%20is%20an%20expression%20to%20aid%20the%20computation%20of%20this%20moment%20of%20inertia.%0A%0A%20%20%20%20In%20the%20figure%20below%2C%20the%20axis%20is%20perpendicular%20to%20the%20plane.%0A%0A%20%20%20%20%3Cfigure%20aria-describedby%3D%22figure-caption-7%22%3E%3Ccenter%3E%3Cimg%20src%3D'https%3A%2F%2Fgithub.com%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fimages%2Finmomparallel.png%3Fraw%3D1'%20width%3D300%20alt%3D'parallel%20axis%20theorem'%2F%3E%3C%2Fcenter%3E%3C%2Ffigure%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20id%3D%22figure-caption-7%22%20class%3D%22figure-caption%22%20style%3D%22display%3Ablock%3Btext-align%3Acenter%3Bfont-style%3Aitalic%22%3EFigure.%20The%20parallel%20axis%20theorem%20for%20the%20calculation%20of%20the%20moment%20of%20inertia%20of%20a%20body.%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20The%20moment%20of%20inertia%20relative%20to%20the%20axis%20passing%20through%20the%20point%20O%20is%20given%20by%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20I_%7Bzz%7D%5EO%20%26%3D%20%5Cint%5Climits_B%20x_%7B%2FO%7D%5E2%2By_%7B%2FO%7D%5E2%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Cint%5Climits_B%20(x_%7B%2Fcm%7D%2Bx_%7Bcm%2FO%7D)%5E2%2B(y_%7B%2Fcm%7D%2By_%7Bcm%2FO%7D)%5E2%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Cint%5Climits_B%20x_%7B%2Fcm%7D%5E2%2B2x_%7B%2Fcm%7Dx_%7Bcm%2FO%7D%2Bx_%7Bcm%2FO%7D%5E2%2By_%7B%2Fcm%7D%5E2%2B2y_%7B%2Fcm%7Dy_%7Bcm%2FO%7D%2By_%7Bcm%2FO%7D%5E2%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%5Cunderbrace%7B%5Cint%5Climits_B%20x_%7B%2Fcm%7D%5E2%2By_%7B%2Fcm%7D%5E2%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%7D_%7BI_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%7D%20%2B%5Cint%5Climits_B%202x_%7B%2Fcm%7Dx_%7Bcm%2FO%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%2B%5Cint%5Climits_B%20x_%7Bcm%2FO%7D%5E2%2By_%7Bcm%2FO%7D%5E2%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%2B%20%5Cint%5Climits_B%202y_%7B%2Fcm%7Dy_%7Bcm%2FO%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%20%2B2x_%7Bcm%2FO%7D%5Cunderbrace%7B%5Cint%5Climits_B%20x_%7B%2Fcm%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%7D_%7B0%7D%2B%5Cunderbrace%7B%5Cvphantom%7B%5Cint%5Climits_B%7D(x_%7Bcm%2FO%7D%5E2%2By_%7Bcm%2FO%7D%5E2)%7D_%7Bd%5E2%7D%5Cunderbrace%7B%5Cint%5Climits_B%20%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%5Cvphantom%7B%5CBigg)%7D%7D_%7Bm_B%7D%20%2B%202y_%7Bcm%2FO%7D%20%5Cunderbrace%7B%5Cint%5Climits_B%20y_%7B%2Fcm%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%7D_%7B0%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20I_%7Bzz%7D%5E%7BO%7D%20%26%3D%20%20I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%20%2B%20m_B%5C%2Cd%5E2%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20terms%20%24%5Cint%5Climits_B%20x_%7B%2Fcm%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%24%20and%20%24%5Cint%5Climits_B%20y_%7B%2Fcm%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%24%20are%20equal%20to%20zero%20because%20of%20the%20definition%20of%20center%20of%20mass.%20The%20term%20%24d%24%20is%20the%20distance%20between%20the%20two%20axes.%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20Note%20that%20this%20theorem%20is%20valid%20only%20for%20parallel%20axes%20and%20the%20original%20axis%20passes%20through%20the%20center%20of%20mass.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Example%3A%20Bar%0A%0A%20%20%20%20Let's%20compute%20the%20moment%20of%20inertia%20of%20a%20bar%20relative%20to%20one%20of%20its%20extremities%2C%20by%20using%20the%20parallel%20axis%20theorem.%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20I_%7Bzz%7D%5EO%20%26%3D%20I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%20%2B%20m%5Cleft(%5Cdfrac%7Bl%7D%7B2%7D%5Cright)%5E2%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Cdfrac%7Bml%5E2%7D%7B12%7D%20%2B%20%5Cdfrac%7Bml%5E2%7D%7B4%7D%20%3D%20%5Cdfrac%7Bml%5E2%7D%7B3%7D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Verify%20that%20for%20the%20example%20where%20we%20calculated%20the%20moment%20of%20inertia%20of%20a%20system%20with%20two%20particles%20in%20relation%20to%20axes%20passing%20by%20different%20points%2C%20we%20could%20have%20used%20the%20parallel%20axis%20theorem.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Moment%20of%20inertia%20of%20a%20complex%20system%0A%0A%20%20%20%20To%20compute%20the%20moment%20of%20inertia%20of%20a%20set%20o%20%24n%24%20bodies%20relative%20to%20a%20point%20%24O%24%20for%20a%20given%20axis%20(for%20example%2C%20the%20%24z%24%20axis)%2C%20we%20must%20apply%20the%20Eq.(%5Cref%7Beq%3Ainmomzzo%7D)%20for%20all%20bodies%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20I_%7Bzz%7D%5E%7BO%7D%20%26%3D%20%5Cint%5Climits_%7BB1%2CB2%2C%5Cldots%2CBn%7D%20x_%7B%2FO%7D%5E2%2By_%7B%2FO%7D%5E2%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Cint%5Climits_%7BB1%7D%20x_%7B%2FO%7D%5E2%2By_%7B%2FO%7D%5E2%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%2B%5Cint%5Climits_%7BB2%7D%20x_%7B%2FO%7D%5E2%2By_%7B%2FO%7D%5E2%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%2B%5Cldots%2B%5Cint%5Climits_%7BBn%7D%20x_%7B%2FO%7D%5E2%2By_%7B%2FO%7D%5E2%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Now%2C%20using%20the%20parallel%20axis%20theorem%2C%20we%20can%20write%20the%20equation%20above%20in%20terms%20of%20the%20moment%20of%20inertia%20relative%20to%20the%20center%20of%20mass%20of%20each%20body%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20I_%7Bzz%7D%5E%7BO%7D%20%26%3D%20I_%7Bzz_%7BB1%7D%7D%5E%7Bcm_1%7D%20%2B%20m_%7BB1%7D.%7C%7C%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm_1%2FO%7D%7C%7C%5E2%20%2BI_%7Bzz_%7BB2%7D%7D%5E%7Bcm_2%7D%20%2B%20m_%7BB2%7D.%7C%7C%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm_2%2FO%7D%7C%7C%5E2%20%20%2B%5Cldots%20%2B%20I_%7Bzz_%7BBn%7D%7D%5E%7Bcm_n%7D%20%2B%20m_%7BBn%7D.%7C%7C%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm_n%2FO%7D%7C%7C%5E2%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24I_%7Bzz_%7BBi%7D%7D%5E%7Bcm_i%7D%24%20is%20the%20moment%20of%20inertia%20of%20the%20body%20%24i%24%20relative%20to%20its%20center%20of%20mass.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Example%3A%20Eight%20bars%0A%0A%20%20%20%20Let's%20compute%20the%20moment%20of%20inertia%20of%20the%20set%20of%20eight%20equal%20and%20homogeneous%20bars%20depicted%20in%20the%20figure%20below%20relative%20to%20its%20center%20of%20mass.%0A%0A%20%20%20%20%3Cfigure%20aria-describedby%3D%22figure-caption-8%22%3E%3Ccenter%3E%3Cimg%20src%3D'https%3A%2F%2Fgithub.com%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fimages%2Feigthbars.png%3Fraw%3D1'%20width%3D350%20alt%3D'Moment%20of%20inertia%20of%20a%20system%20with%20eight%20bars'%2F%3E%3C%2Fcenter%3E%3C%2Ffigure%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20id%3D%22figure-caption-8%22%20class%3D%22figure-caption%22%20style%3D%22display%3Ablock%3Btext-align%3Acenter%3Bfont-style%3Aitalic%22%3EFigure.%20Moment%20of%20inertia%20of%20a%20system%20with%20eight%20bars.%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20By%20symmetry%2C%20the%20center%20of%20mass%20of%20this%20system%20is%20in%20the%20point%20%24O%24.%20So%2C%20to%20compute%20the%20moment%20of%20inertia%20relative%20to%20this%20point%2C%20we%20must%20use%20the%20parallel%20axis%20theorem%20to%20each%20bar%2C%20and%20then%20sum%20the%20results%2C%20as%20in%20Eq.(%5Cref%7Beq%3Aparal%7D).%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20I%5E%7Bcm%7D_%7Bzz%7D%3D%7B%7D%20%26%20I%5E%7Bcm1%7D_%7Bzz%7D%2Bm%5Cleft(%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D%5Cright)%5E2%2BI%5E%7Bcm2%7D_%7Bzz%7D%2Bm%5Cleft(%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D%5Cright)%5E2%2BI%5E%7Bcm3%7D_%7Bzz%7D%2Bm%5Cleft(%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D%5Cright)%5E2%2BI%5E%7Bcm4%7D_%7Bzz%7D%2Bm%5Cleft(%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D%5Cright)%5E2%20%2B%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%20I%5E%7Bcm5%7D_%7Bzz%7D%2Bm%5Cleft(%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D%5Cright)%5E2%2BI%5E%7Bcm6%7D_%7Bzz%7D%2Bm%5Cleft(%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D%5Cright)%5E2%2BI%5E%7Bcm7%7D_%7Bzz%7D%2Bm%5Cleft(%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D%5Cright)%5E2%2BI%5E%7Bcm8%7D_%7Bzz%7D%2Bm%5Cleft(%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D%5Cright)%5E2%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20moment%20of%20inertia%20of%20a%20bar%20relative%20to%20its%20center%20of%20mass%20is%20%24%5Cfrac%7Bml%5E2%7D%7B12%7D%24.%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20So%20the%20moment%20of%20inertia%20of%20the%20system%20relative%20to%20its%20center%20of%20mass%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20I%5E%7Bcm%7D_%7Bzz%7D%20%3D%208%5Ccdot%5Cleft%5B%5Cdfrac%7Bml%5E2%7D%7B12%7D%2Bm%5Cleft(%5Cdfrac%7Bl%7D%7B2%7D%5Cright)%5E2%5Cright%5D%20%3D%20%5Cdfrac%7B8ml%5E2%7D%7B3%7D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Verify%20that%20for%20this%20example%2C%20we%20also%20could%20have%20explored%20even%20more%20the%20symmetry%20of%20the%20system%20and%20computed%20the%20total%20moment%20of%20inertia%20as%20the%20sum%20of%20the%20moment%20of%20inertia%20of%20four%20bars%2C%20each%20with%20length%20%242l%24%20and%20mass%20%242m%24%2C%20each%20rotating%20around%20its%20center.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Matrix%20of%20Inertia%0A%0A%20%20%20%20Let's%20find%20the%20expression%20for%20the%20moment%20of%20inertia%20of%20a%20three-dimensional%20problem%20for%20a%20system%20rotating%20around%20an%20axis%20where%20we%20can't%20reduce%20the%20problem%20to%20a%20possible%20planar%20rotation.%20But%20let's%20continue%20considering%20that%20the%20axis%20of%20rotation%20passes%20through%20the%20center%20of%20mass%20(one%20can%20always%20use%20the%20theorem%20of%20parallel%20axis).%0A%0A%20%20%20%20In%20this%20case%2C%20the%20angular%20momentum%20for%20a%20system%20composed%20of%20a%20set%20of%20particles%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20%5Cvec%7BH%7D_%7Bcm%7D%20%26%3D%20%5Csum%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bi%2Fcm%7D%20%5Ctimes%20%5Cvec%7Bp%7D_i%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Csum%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bi%2Fcm%7D%20%5Ctimes%20m_i%5Cvec%7Bv%7D_i%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Csum%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bi%2Fcm%7D%20%5Ctimes%20m_i(%5Cvec%7B%5Comega%7D_i%20%5Ctimes%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bi%2Fcm%7D)%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%5Cvec%7BH%7D_%7Bcm%7D%20%26%3D%20%5Csum%20m_i%20(%5Cvec%7Br%7D_%7Bi%2Fcm%7D%20%5Ctimes%20(%5Cvec%7B%5Comega%7D_i%20%5Ctimes%20%5Cvec%7Br%7D_%7Bi%2Fcm%7D))%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Calculating%20the%20vector%20triple%20product%20(mnemonic%3A%20abc%20%3D%20bac%20-%20cab)%20and%20separating%20the%20terms%20for%20each%20component%20of%20the%20angular%20momentum%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Br%7D%0A%20%20%20%20H_%7Bx%2Fcm%7D%20%26%3D%26%20%5Csum%20m_i%20%5Cbig(%26(y_i%5E2%2Bz_i%5E2)%5Comega_x%20%26-x_iy_i%5Comega_y%20%26-x_iz_i%5Comega_z%20%5Cbig)%20%5C%5C%0A%20%20%20%20H_%7By%2Fcm%7D%20%26%3D%26%20%5Csum%20m_i%20%5Cbig(%26-y_ix_i%5Comega_x%20%26(z_i%5E2%2Bx_i%5E2)%5Comega_y%20%26-y_iz_i%5Comega_z%20%5Cbig)%20%5C%5C%0A%20%20%20%20H_%7Bz%2Fcm%7D%20%26%3D%26%20%5Csum%20m_i%20%5Cbig(%26-z_ix_i%5Comega_x%20%26-z_iy_i%5Comega_y%20%26(x_i%5E2%2By_i%5E2)%5Comega_z%20%5Cbig)%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Once%20again%2C%20in%20analogy%20to%20the%20linear%20momentum%2C%20we%20can%20write%20the%20equation%20above%20as%20%24%5Cvec%7BH%7D_%7Bcm%7D%20%3D%20I_%7Bcm%7D%20%5Cvec%7Bw%7D%24%2C%20which%20in%20matrix%20form%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20H_x%20%5C%5C%20H_y%20%5C%5C%20H_z%0A%20%20%20%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%3D%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20I_%7Bxx%7D%20%26%20I_%7Bxy%7D%20%26%20I_%7Bxz%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20I_%7Byx%7D%20%26%20I_%7Byy%7D%20%26%20I_%7Byz%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20I_%7Bzx%7D%20%26%20I_%7Bzx%7D%20%26%20I_%7Bzz%7D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20%20%5Ccdot%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%5Comega_x%20%5C%5C%20%5Comega_y%20%5C%5C%20%5Comega_z%0A%20%20%20%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20matrix%20with%20the%20moment%20of%20inertia%20terms%20in%20the%20equation%20above%20is%20referred%20as%20the%20matrix%20of%20inertia%20(or%20%20inertia%20matrix%20or%20inertia%20tensor)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20I%5E%7Bcm%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%26%5Csum%20m_i%20(y_i%5E2%2Bz_i%5E2)%20%26-%5Csum%20m_i%20x_iy_i%20%26-%5Csum%20m_i%20x_iz_i%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26-%5Csum%20m_i%20y_ix_i%20%26%5Csum%20m_i%20(z_i%5E2%2Bx_i%5E2)%20%26-%5Csum%20m_i%20y_iz_i%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26-%5Csum%20m_i%20z_ix_i%20%26-%5Csum%20m_i%20z_iy_i%20%26%5Csum%20m_i%20(x_i%5E2%2By_i%5E2)%0A%20%20%20%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Equivalently%2C%20for%20a%20rigid%20body%20the%20matrix%20of%20inertia%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20I%5E%7Bcm%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%26%5Cint%20(y%5E2%2Bz%5E2)%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%26-%5Cint%20xy%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%26-%5Cint%20xz%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26-%5Cint%20yx%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%26%5Cint%20(z%5E2%2Bx%5E2)%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%26-%5Cint%20yz%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26-%5Cint%20zx%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%26-%5Cint%20zy%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%26%5Cint%20(x%5E2%2By%5E2)%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%0A%20%20%20%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20It's%20usual%20to%20refer%20to%20the%20matrix%20of%20inertia%20simply%20by%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20I%5E%7Bcm%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20I_%7Bxx%7D%20%26%20I_%7Bxy%7D%20%26%20I_%7Bxz%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20I_%7Byx%7D%20%26%20I_%7Byy%7D%20%26%20I_%7Byz%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20I_%7Bzx%7D%20%26%20I_%7Bzx%7D%20%26%20I_%7Bzz%7D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Note%20that%20in%20the%20notation%20of%20subscripts%20with%20two%20axes%2C%20the%20first%20subscript%20refers%20to%20the%20component%20(axis)%20of%20the%20angular%20momentum%2C%20and%20the%20second%20subscript%20refers%20to%20the%20component%20(axis)%20of%20the%20angular%20velocity.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Exercise%204%20%E2%80%94%20Read%20a%20tensor.**%20A%202%20kg%20particle%20is%20at%20%24(1%2C2%2C0)%24%20m%20relative%20to%20the%20origin.%20Find%20%24I_%7Bxx%7D%24%2C%20%24I_%7Byy%7D%24%2C%20%24I_%7Bzz%7D%24%20and%20%24I_%7Bxy%7D%24.%20Why%20is%20%24I_%7Bxy%7D%24%20negative%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Solution%20to%20Exercise%204%0A%0A%20%20%20%20Using%20%24%5Cmathbf%20I%3Dm%5B(%5Cmathbf%20r%5Ccdot%5Cmathbf%20r)%5Cmathbf1-%5Cmathbf%20r%5Cmathbf%20r%5ET%5D%24%20gives%20%24I_%7Bxx%7D%3D8%24%2C%20%24I_%7Byy%7D%3D2%24%2C%20%24I_%7Bzz%7D%3D10%24%20and%20%24I_%7Bxy%7D%3D-4%24%20kg%20m%C2%B2.%20The%20off-diagonal%20entry%20includes%20the%20conventional%20minus%20sign%2C%20%24-mxy%24%3B%20it%20is%20not%20a%20negative%20physical%20resistance%20to%20rotation.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Principal%20axes%0A%0A%20%20%20%20If%20the%20axes%20of%20rotation%20to%20calculate%20the%20moment%20of%20inertia%20are%20aligned%20with%20the%20axes%20of%20symmetry%20of%20the%20body%20passing%20through%20the%20center%20of%20mass%20(referred%20as%20principal%20axes)%2C%20the%20terms%20off%20the%20main%20diagonal%20of%20the%20matrix%20of%20inertia%20are%20all%20zero%20because%2C%20by%20definition%20of%20center%20of%20mass%2C%20the%20mass%20is%20equally%20distributed%20around%20these%20axes%20of%20symmetry%20for%20each%20pair%20of%20coordinates%20considered%20in%20the%20integration.%20The%20terms%20off-diagonal%20are%20called%20product%20of%20inertia.%20In%20this%20case%2C%20the%20matrix%20of%20inertia%20becomes%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20I%5E%7Bcm%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20I_1%20%26%200%20%26%200%20%5C%5C%0A%20%20%20%200%20%26%20I_2%20%26%200%20%5C%5C%0A%20%20%20%200%20%26%200%20%26%20I_3%0A%20%20%20%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24I_1%24%2C%20%24I_2%24%20and%20%24I_3%24%20are%20the%20moments%20of%20inertia%20around%20each%20of%20the%20principal%20axes%20of%20the%20body.%0A%0A%20%20%20%20This%20is%20a%20common%20strategy%20employed%20in%20biomechanics%3B%20in%20motion%20analysis%20we%20construct%20a%20base%20for%20each%20segment%20such%20that%20this%20base%20is%20aligned%20to%20the%20principal%20axes%20of%20the%20segment%2C%20and%20we%20do%20that%20for%20every%20instant%20the%20segment%20moves.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Example%3A%20Cylinder%0A%0A%20%20%20%20Consider%20a%20cylinder%20with%20constant%20density%20shown%20in%20the%20figure%20below%20and%20compute%20the%20moment%20of%20inertia%20around%20the%20three%20axes%20relative%20to%20the%20center%20of%20mass.%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20The%20mass%20of%20this%20cylinder%20is%20%24m%20%3D%20%5Crho%20h%20%5Cpi%20R%5E2%24%20and%2C%20by%20symmetry%2C%20the%20moment%20of%20inertia%20is%20in%20the%20center%20(centroid)%20of%20the%20cylinder.%0A%0A%20%20%20%20%3Cfigure%20aria-describedby%3D%22figure-caption-9%22%3E%3Ccenter%3E%3Cimg%20src%3D'https%3A%2F%2Fgithub.com%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fimages%2Fcilinder.png%3Fraw%3D1'%20width%3D300%20alt%3D'Moment%20of%20inertia%20of%20a%20cylinder'%2F%3E%3C%2Fcenter%3E%3C%2Ffigure%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20id%3D%22figure-caption-9%22%20class%3D%22figure-caption%22%20style%3D%22display%3Ablock%3Btext-align%3Acenter%3Bfont-style%3Aitalic%22%3EFigure.%20Moment%20of%20inertia%20of%20a%20cylinder.%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20The%20easiest%20approach%20to%20this%20problem%20is%20to%20use%20cylindrical%20coordinates%20%24%5Ctheta%2C%20r%2C%20z%24.%20In%20the%20integrals%2C%20the%20differential%20term%20%24%5Cmathrm%20d%20m%24%20will%20be%20replaced%20by%20%24%5Crho%20r%20%5C%2C%5Cmathrm%20d%20%5Ctheta%5C%2C%5Cmathrm%20d%20r%5C%2C%5Cmathrm%20d%20z%24%20and%20the%20limits%20of%20the%20integral%20will%20be%20%24%5B0%2C2%5Cpi%5D%24%2C%20%24%5B0%2CR%5D%24%2C%20%24%5B-h%2F2%2Ch%2F2%5D%24.%0A%0A%20%20%20%20First%2C%20around%20the%20%24z%24%20axis%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%20%26%3D%20%5Cint%5Climits_B%20(x_%7B%2Fcm%7D%5E2%2By_%7B%2Fcm%7D%5E2)%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Cint%5Climits_%7B-h%2F2%7D%5E%7Bh%2F2%7D%5Cint%5Climits_0%5ER%5Cint%5Climits_0%5E%7B2%5Cpi%7D%20r%5E2%20%5Crho%20r%20%5C%2C%5Cmathrm%20d%20%5Ctheta%5C%2C%5Cmathrm%20d%20r%5C%2C%5Cmathrm%20d%20z%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Crho%20%5Cint%5Climits_%7B-h%2F2%7D%5E%7Bh%2F2%7D%5Cint%5Climits_0%5ER%5Cint%5Climits_0%5E%7B2%5Cpi%7D%20r%5E3%20%20%5C%2C%5Cmathrm%20d%20%5Ctheta%5C%2C%5Cmathrm%20d%20r%5C%2C%5Cmathrm%20d%20z%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Crho%20%5Cint%5Climits_%7B-h%2F2%7D%5E%7Bh%2F2%7D%5Cint%5Climits_0%5ER%202%5Cpi%20r%5E3%20%20%5C%2C%5Cmathrm%20d%20r%5C%2C%5Cmathrm%20d%20z%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Crho%20%5Cint%5Climits_%7B-h%2F2%7D%5E%7Bh%2F2%7D%202%5Cpi%20%5Cfrac%7BR%5E4%7D%7B4%7D%20%20%5C%2Cdz%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%20%5Crho%20%5Cpi%20%5Cfrac%7BR%5E4%7D%7B2%7Dh%20%5C%5C%0A%20%20%20%20I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%20%26%3D%20%5Cdfrac%7BmR%5E2%7D%7B2%7D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Now%2C%20around%20the%20%24x%24%20axis%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20I_%7Bxx%7D%5E%7Bcm%7D%20%26%3D%20%5Cint%5Climits_B%20(z_%7B%2Fcm%7D%5E2%2By_%7B%2Fcm%7D%5E2)%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Cint%5Climits_%7B-h%2F2%7D%5E%7Bh%2F2%7D%5Cint%5Climits_0%5ER%5Cint%5Climits_0%5E%7B2%5Cpi%7D%20(z%5E2%2Br%5E2%5Csin%5E2(%5Ctheta))%20%5Crho%20r%20%5C%2C%5Cmathrm%20d%20%5Ctheta%5C%2C%5Cmathrm%20d%20r%5C%2C%5Cmathrm%20d%20z%20%5C%5C%0A%20%20%20%20I_%7Bxx%7D%5E%7Bcm%7D%20%26%3D%20%5Crho%5Cint%5Climits_%7B-h%2F2%7D%5E%7Bh%2F2%7D%5Cint%5Climits_0%5ER%5Cint%5Climits_0%5E%7B2%5Cpi%7D%20(r%20z%5E2%2Br%5E3%5Csin%5E2(%5Ctheta))%20%20%20%5C%2C%5Cmathrm%20d%20%5Ctheta%5C%2C%5Cmathrm%20d%20r%5C%2C%5Cmathrm%20d%20z%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20And%20by%20symmetry%2C%20the%20moment%20of%20inertia%20around%20the%20axis%20%24y%24%20passing%20by%20the%20center%20of%20mass%20is%20equal%20to%20the%20moment%20of%20inertia%20around%20the%20axis%20%24x%24.%0A%0A%20%20%20%20We%20will%20solve%20this%20integral%20using%20the%20Sympy%20library%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(print2%2C%20sym)%3A%0A%20%20%20%20(_h%2C%20R%2C%20_rho%2C%20_m1)%20%3D%20sym.symbols('h%2C%20R%2C%20rho%2C%20m'%2C%20positive%3DTrue)%0A%20%20%20%20(theta%2C%20r%2C%20z)%20%3D%20sym.symbols('theta%2C%20r%2C%20z')%0A%20%20%20%20_m%20%3D%20_rho%20*%20_h%20*%20sym.pi%20*%20R%20**%202%0A%20%20%20%20Ixx%20%3D%20_rho%20*%20sym.integrate(sym.integrate(sym.integrate(r%20*%20z%20**%202%20%2B%20r%20**%203%20*%20sym.sin(theta)%20**%202%2C%20(theta%2C%200%2C%202%20*%20sym.pi))%2C%20(r%2C%200%2C%20R))%2C%20(z%2C%20-_h%20%2F%202%2C%20_h%20%2F%202))%20%2F%20_m%0A%20%20%20%20Ixxcm%20%3D%20sym.simplify(_m1%20*%20Ixx)%0A%20%20%20%20print2('I%5E%7Bcm%7D_%7Bxx%7D%3DI%5E%7Bcm%7D_%7Byy%7D'%2C%20Ixxcm)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**The%20product%20of%20inertia%20terms**%0A%0A%20%20%20%20By%20inspecting%20the%20problem%2C%20we%20know%20that%20because%20of%20symmetry%20of%20the%20axes%20w.r.t.%20the%20cylinder%2C%20the%20product%20of%20inertia%20terms%20of%20the%20matrix%20of%20inertia%20should%20be%20all%20zero.%20Let's%20confirm%20that.%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20Here%20are%20the%20integrals%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20I_%7Bxy%7D%5E%7Bcm%7D%20%26%3D%20-%5Cint%20x_%7B%2Fcm%7Dy_%7B%2Fcm%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20-%5Cint%5Climits_%7B-h%2F2%7D%5E%7Bh%2F2%7D%5Cint%5Climits_0%5ER%5Cint%5Climits_0%5E%7B2%5Cpi%7D%20r%5Ccos%5Ctheta%20%5C%2Cr%5Csin%5Ctheta%20%5Crho%20r%20%5C%2C%5Cmathrm%20d%20%5Ctheta%5C%2C%5Cmathrm%20d%20r%5C%2C%5Cmathrm%20d%20z%20%5C%5C%0A%20%20%20%20I_%7Byx%7D%5E%7Bcm%7D%20%26%3D%20-%5Cint%20y_%7B%2Fcm%7Dx_%7B%2Fcm%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20-%5Cint%5Climits_%7B-h%2F2%7D%5E%7Bh%2F2%7D%5Cint%5Climits_0%5ER%5Cint%5Climits_0%5E%7B2%5Cpi%7D%20r%5Csin%5Ctheta%20%5C%2Cr%5Ccos%5Ctheta%20%5Crho%20r%20%5C%2C%5Cmathrm%20d%20%5Ctheta%5C%2C%5Cmathrm%20d%20r%5C%2C%5Cmathrm%20d%20z%20%5C%5C%0A%20%20%20%20I_%7Bxz%7D%5E%7Bcm%7D%20%26%3D%20-%5Cint%20x_%7B%2Fcm%7Dz_%7B%2Fcm%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20-%5Cint%5Climits_%7B-h%2F2%7D%5E%7Bh%2F2%7D%5Cint%5Climits_0%5ER%5Cint%5Climits_0%5E%7B2%5Cpi%7D%20r%5Ccos%5Ctheta%20%5C%2Cz%20%5Crho%20r%20%5C%2C%5Cmathrm%20d%20%5Ctheta%5C%2C%5Cmathrm%20d%20r%5C%2C%5Cmathrm%20d%20z%20%5C%5C%0A%20%20%20%20I_%7Bzx%7D%5E%7Bcm%7D%20%26%3D%20-%5Cint%20z_%7B%2Fcm%7Dx_%7B%2Fcm%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20-%5Cint%5Climits_%7B-h%2F2%7D%5E%7Bh%2F2%7D%5Cint%5Climits_0%5ER%5Cint%5Climits_0%5E%7B2%5Cpi%7D%20z%20%5C%2C%20r%5Ccos%5Ctheta%20%20%5Crho%20r%20%5C%2C%5Cmathrm%20d%20%5Ctheta%5C%2C%5Cmathrm%20d%20r%5C%2C%5Cmathrm%20d%20z%20%5C%5C%0A%20%20%20%20I_%7Byz%7D%5E%7Bcm%7D%20%26%3D%20-%5Cint%20y_%7B%2Fcm%7Dz_%7B%2Fcm%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20-%5Cint%5Climits_%7B-h%2F2%7D%5E%7Bh%2F2%7D%5Cint%5Climits_0%5ER%5Cint%5Climits_0%5E%7B2%5Cpi%7D%20r%5Csin%5Ctheta%20%5C%2C%20z%20%5Crho%20r%20%5C%2C%5Cmathrm%20d%20%5Ctheta%5C%2C%5Cmathrm%20d%20r%5C%2C%5Cmathrm%20d%20z%20%5C%5C%0A%20%20%20%20I_%7Bzy%7D%5E%7Bcm%7D%20%26%3D%20-%5Cint%20z_%7B%2Fcm%7Dy_%7B%2Fcm%7D%5C%2C%5Cmathrm%20d%20m%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20-%5Cint%5Climits_%7B-h%2F2%7D%5E%7Bh%2F2%7D%5Cint%5Climits_0%5ER%5Cint%5Climits_0%5E%7B2%5Cpi%7D%20z%20%5C%2C%20%5C%2Cr%5Csin%5Ctheta%20%5Crho%20r%20%5C%2C%5Cmathrm%20d%20%5Ctheta%5C%2C%5Cmathrm%20d%20r%5C%2C%5Cmathrm%20d%20z%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20product%20of%20inertia%20terms%20are%20indeed%20all%20zero.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20The%20parallel%20axis%20theorem%20for%20rigid%20bodies%20in%20three%20dimensions%0A%0A%20%20%20%20The%20parallel%20axis%20theorem%20for%20rigid%20bodies%20in%20three%20dimensions%20is%20(see%20page%201083%20of%20Ruina%20and%20Pratap%2C%20(2019))%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20I%5EO%20%3D%20I%5E%7Bcm%7D%20%2B%20m%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%26%20y_%7Bcm%2FO%7D%5E2%2Bz_%7Bcm%2FO%7D%5E2%20%26-x_%7Bcm%2FO%7Dy_%7Bcm%2FO%7D%20%20%20%20%20%20%26-x_%7Bcm%2FO%7Dz_%7Bcm%2FO%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26-y_%7Bcm%2FO%7Dx_%7Bcm%2FO%7D%20%20%20%20%20%20%26%20z_%7Bcm%2FO%7D%5E2%2Bx_%7Bcm%2FO%7D%5E2%20%26-y_%7Bcm%2FO%7Dz_%7Bcm%2FO%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26-z_%7Bcm%2FO%7Dx_%7Bcm%2FO%7D%20%20%20%20%20%20%26-z_%7Bcm%2FO%7Dy_%7Bcm%2FO%7D%20%20%20%20%20%20%26%20x_%7Bcm%2FO%7D%5E2%2By_%7Bcm%2FO%7D%5E2%0A%20%20%20%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24x_%7Bcm%2FO%7D%2C%20y_%7Bcm%2FO%7D%2C%20z_%7Bcm%2FO%7D%24%20are%20the%20%24x%2C%20y%2C%20z%24%20coordinates%20of%20the%20center%20of%20mass%20with%20respect%20to%20a%20coordinate%20system%20whose%20origin%20is%20located%20at%20point%20%24O%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20terms%20%24I%5EO_%7Bi%2Cj%7D%24%20of%20the%20inertia%20tensor%20above%20can%20be%20represented%20in%20a%20shorter%20form%20as%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20I%5EO_%7Bij%7D%20%3D%20I%5E%7Bcm%7D_%7Bij%7D%20%2B%20m%5Cleft(%7C%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm%2FO%7D%7C%5E2%5Cdelta_%7Bij%7D%20-%20r_%7Bi%2Ccm%2FO%7Dr_%7Bj%2Ccm%2FO%7D%5Cright)%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24%5Cvec%7Br%7D_%7Bcm%2FO%7D%20%3D%20x_%7Bcm%2FO%7D%20%5Chat%7Bi%7D%20%2B%20y_%7Bcm%2FO%7D%5Chat%7Bj%7D%20%2B%20z_%7Bcm%2FO%7D%5Chat%7Bk%7D%24%2C%20%24%5Cdelta_%7Bij%7D%24%20is%20the%20Kronecker%20delta%2C%20and%20%24i%2Cj%24%20varies%20from%201%20to%203%20(which%20also%20span%20the%20%24x%2C%20y%2C%20z%24%20coordinates).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Exercise%205%20%E2%80%94%20Separate%20mass%20from%20area.**%20A%20cross-section%20has%20second%20moment%20of%20area%200.002%20m%E2%81%B4.%20Can%20you%20substitute%20that%20value%20into%20%24T%3DI%5Comega%5E2%2F2%24%3F%20What%20information%20is%20missing%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Solution%20to%20Exercise%205%0A%0A%20%20%20%20No%3A%20rotational%20kinetic%20energy%20needs%20kg%20m%C2%B2%2C%20whereas%20the%20section%20property%20has%20m%E2%81%B4.%20You%20need%20a%20mass%20distribution%20and%20the%20actual%20rotation%20axis.%20For%20a%20uniform%20thin%20lamina%2C%20an%20areal%20density%20can%20convert%20a%20suitable%20area%20integral%20into%20a%20mass%20moment.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Moment%20of%20rotational%20inertia%20and%20area%20moment%20of%20inertia%0A%0A%20%20%20%20Another%20related%20quantity%20to%20moment%20of%20rotational%20inertia%20is%20the%20area%20moment%20of%20inertia%3B%20the%20latter%20is%20more%20used%20in%20the%20field%20of%20strength%20of%20materials.%20The%20area%20moment%20of%20inertia%20is%20a%20property%20of%20the%20shape%20of%20a%20body%2C%20it%20expresses%20the%20difficulty%20to%20deflect%2C%20bend%20or%20stress%20this%20body%2C%20and%20is%20given%20by%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%20%20%20%20I%20%3D%20%5Cint%5Climits%20r%5E2%5C%2C%5Cmathrm%20d%20A%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20where%20%24%5Cmathrm%20d%20A%24%20is%20the%20differential%20of%20area.%0A%0A%20%20%20%20One%20can%20see%20that%20the%20area%20moment%20of%20inertia%20has%20no%20mass%20term%3B%20it%20has%20dimension%20%24%5BL%5D%5E4%24%20and%20SI%20unit%20%24m%5E4%24.%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20To%20salient%20the%20difference%20between%20these%20two%20quantities%2C%20the%20moment%20of%20rotational%20inertia%20is%20also%20known%20as%20mass%20moment%20of%20inertia.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Checkpoint%20questions%0A%0A%20%20%20%201.%20When%20do%20center%20of%20mass%2C%20center%20of%20gravity%20and%20geometric%20center%20coincide%3F%0A%20%20%20%202.%20Can%20an%20inertia%20tensor%20have%20a%20negative%20eigenvalue%20for%20a%20physical%20mass%20distribution%3F%0A%20%20%20%203.%20Why%20does%20translating%20an%20axis%20require%20a%20distance%20perpendicular%20to%20that%20axis%3F%0A%20%20%20%204.%20What%20changed%20in%20the%20ruler%20challenge%3A%20mass%20or%20mass%20distribution%20relative%20to%20the%20axis%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Checkpoint%20answers%0A%0A%20%20%20%201.%20Uniform%20gravity%20makes%20mass%20and%20gravity%20centers%20coincide%3B%20uniform%20density%20also%20makes%20them%20coincide%20with%20the%20geometric%20centroid.%0A%20%20%20%202.%20No%3B%20it%20is%20positive%20semidefinite.%20A%20zero%20eigenvalue%20is%20possible%20for%20an%20ideal%20mass%20distribution%20entirely%20on%20an%20axis.%0A%20%20%20%203.%20Only%20perpendicular%20distance%20enters%20rotational%20inertia.%0A%20%20%20%204.%20The%20distances%20to%20the%20rotation%20axis%20changed.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problems%0A%0A%20%20%20%202.%20Determine%20the%20center%20of%20mass%20position%20and%20moment%20of%20inertia%20(around%20the%20principal%20axes%20of%20the%20object)%20for%20(adopt%20mass%20equal%201%20kg)%3A%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%201.%20A%20planar%20disc%20with%20radius%20%24r%24.%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%202.%20A%20planar%20square%20with%20side%20%24a%24.%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%203.%20A%20planar%20ellipse%20with%20semi-axes%20%24a%24%20and%20%24b%24.%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%204.%20A%20sphere%20with%20radius%20%24r%24.%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%205.%20A%20cube%20with%20side%20%24a%24.%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%206.%20An%20ellipsoid%20with%20semi-axes%20%24a%24%2C%20%24b%24%20and%20%24c%24%20(see%20http%3A%2F%2Fscienceworld.wolfram.com%2Fphysics%2FMomentofInertiaEllipsoid.html).%3Cbr%3E%0A%20%20%20%203.%20Calculate%20the%20matrix%20of%20inertia%20for%20the%20following%20systems%3A%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%201.%20A%20particle%20with%20mass%201%20kg%20located%20at%20%24%5B1%2C%202%2C%200%5D%5C%2Cm%24%20in%20relation%20to%20the%20origin%20%24%5B0%2C%200%2C%200%5D%5C%2Cm%24.%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%20%202.%20A%20set%20of%20two%20particles%2C%20each%20with%20mass%201%20kg%2C%20located%20at%20%24%5B1%2C%202%2C%200%5D%5C%2Cm%24%20and%20%24%5B-1%2C%20-2%2C%200%5D%5C%2Cm%24%20in%20relation%20to%20the%20set%20center%20of%20mass.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Final%20answers%20to%20original%20Problems%0A%0A%20%20%20%202.%20For%20uniform%20bodies%20of%20mass%201%20kg%2C%20the%20center%20of%20mass%20is%20the%20geometric%20center.%20With%20planar%20objects%20in%20the%20xy%20plane%20and%20dimensions%20in%20metres%2C%20principal%20inertia%20triples%20%24(I_x%2CI_y%2CI_z)%24%20in%20kg%20m%C2%B2%20are%3A%20disc%20%24(r%5E2%2F4%2Cr%5E2%2F4%2Cr%5E2%2F2)%24%3B%20square%20%24(a%5E2%2F12%2Ca%5E2%2F12%2Ca%5E2%2F6)%24%3B%20ellipse%20%24(b%5E2%2F4%2Ca%5E2%2F4%2C(a%5E2%2Bb%5E2)%2F4)%24%3B%20solid%20sphere%20%24(2r%5E2%2F5%2C2r%5E2%2F5%2C2r%5E2%2F5)%24%3B%20solid%20cube%20%24(a%5E2%2F6%2Ca%5E2%2F6%2Ca%5E2%2F6)%24%3B%20solid%20ellipsoid%20%24((b%5E2%2Bc%5E2)%2F5%2C(a%5E2%2Bc%5E2)%2F5%2C(a%5E2%2Bb%5E2)%2F5)%24.%0A%0A%20%20%20%203.%20The%20single-particle%20tensor%20is%20%24%5Cbegin%7Bbmatrix%7D4%26-2%260%5C%5C-2%261%260%5C%5C0%260%265%5Cend%7Bbmatrix%7D%24%20kg%20m%C2%B2.%20For%20the%20two-particle%20set%20about%20its%20center%2C%20it%20is%20%24%5Cbegin%7Bbmatrix%7D8%26-4%260%5C%5C-4%262%260%5C%5C0%260%2610%5Cend%7Bbmatrix%7D%24%20kg%20m%C2%B2.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Go%20deeper%0A%0A%20%20%20%20-%20Center%20of%20mass%3A%20Read%20pages%20pages%20145-160%20of%20the%20%5BRuina%20and%20Pratap%20(2019)%5D(https%3A%2F%2Fruina.tam.cornell.edu%2FBook%2Findex.html)%3B%0A%20%20%20%20-%20Moment%20of%20inertia%3A%20Read%20pages%20771-781%20and%201081-1089%20of%20the%20%5BRuina%20and%20Pratap%20(2019)%5D(https%3A%2F%2Fruina.tam.cornell.edu%2FBook%2Findex.html)%2C%20read%20the%20chapter%2017%20of%20the%20%5BHibbeler's%20book%5D(https%3A%2F%2Fdrive.google.com%2Ffile%2Fd%2F1sDLluWCiBCog2C11_Iu1fjv-BtfVUxBU%2Fview)%20(available%20in%20the%20Classroom).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Optional%20textbook%20investigations%0A%0A%20%20%20%20These%20original%20external%20assignments%20require%20the%20stated%20edition%20and%20its%20figures.%20They%20are%20retained%20as%20optional%20reading%3B%20the%20self-contained%20Problems%20above%20have%20answer%20panels.%0A%0A%20%20%20%201.%20Solve%20problems%202.2.5%2C%202.2.7%2C%2016.3.11%2C%2016.3.15%20from%20Ruina%20and%20Pratap%20(2019).%3Cbr%3E%0A%0A%20%20%20%204.%20Check%20examples%2017.1%20e%2017.2%20from%20Hibbeler's%20book.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Video%20lectures%20on%20the%20Internet%0A%0A%20%20%20%20-%20Center%20of%20mass%3A%0A%20%20%20%20%20%20-%20Khan%20Academy%3A%20%5Bdefinition%5D(https%3A%2F%2Fwww.khanacademy.org%2Fscience%2Fap-physics-1%2Fap-linear-momentum%2Fcenter-of-mass-ap%2Fv%2Fcenter-of-mass)%2C%20%5Bdefini%C3%A7%C3%A3o%20(in%20Portuguese)%5D(https%3A%2F%2Fpt.khanacademy.org%2Fscience%2Fphysics%2Flinear-momentum%2Fcenter-of-mass%2Fv%2Fcenter-of-mass)%3B%0A%20%20%20%20%20%20-%20MIT%20OpenCourseWare%3A%20%5Bdefinition%5D(https%3A%2F%2Fyoutu.be%2Fol1COj0LACs)%2C%20%5Bof%20three%20objects%5D(https%3A%2F%2Fyoutu.be%2F-b0dFcebPcs)%2C%20%5Bof%20a%20continuous%20system%5D(https%3A%2F%2Fyoutu.be%2Fe548hRYcXlg)%2C%20%5Bof%20extended%20objects%5D(https%3A%2F%2Focw.mit.edu%2Fcourses%2Fphysics%2F8-01sc-classical-mechanics-fall-2016%2Fweek-5-momentum-and-impulse%2F17.4-center-of-mass-of-a-system-of-extended-objects)%2C%20%5Bof%20a%20uniform%20rod%5D(https%3A%2F%2Fyoutu.be%2FCFh3gu-z_rc)%3B%0A%20%20%20%20-%20Moment%20of%20inertia%3A%0A%20%20%20%20%20%20-%20Khan%20Academy%3A%20%5Bdefinition%5D(https%3A%2F%2Fwww.khanacademy.org%2Fscience%2Fphysics%2Ftorque-angular-momentum%2Ftorque-tutorial%2Fv%2Fmore-on-moment-of-inertia)%2C%20%5Bdefini%C3%A7%C3%A3o%20(in%20Portuguese)%5D(https%3A%2F%2Fpt.khanacademy.org%2Fscience%2Fphysics%2Ftorque-angular-momentum%2Ftorque-tutorial%2Fv%2Fmore-on-moment-of-inertia)%3B%0A%20%20%20%20%20%20-%20MIT%20OpenCourseWare%3A%20%5Bdefinition%5D(https%3A%2F%2Fyoutu.be%2F0QF_uCgZW4Y)%2C%20%5Bof%20a%20rod%5D(https%3A%2F%2Fyoutu.be%2F1AJbVRQTZlA)%2C%20%5Bof%20a%20disc%5D(https%3A%2F%2Fyoutu.be%2FBPnbq6BobdA)%2C%20%5Bparallel%20axis%20theorem%5D(https%3A%2F%2Fyoutu.be%2Fr2Qb0vsxa8Y)%2C%20%5Bof%20a%20sphere%5D(https%3A%2F%2Fyoutu.be%2FQmCQUBSsKwQ)%2C%20%5Bmatrix%20of%20inertia%5D(https%3A%2F%2Fyoutu.be%2FlT-GIGebbNc)%3B%0A%20%20%20%20%20-%20%5BDifference%20between%20mass%20and%20area%20moments%20of%20inertia%5D(https%3A%2F%2Fyoutu.be%2FBls5KnQOWkY).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Additional%20verified%20lecture%0A%0A%20%20%20%20%5BMIT%20OpenCourseWare%5D(https%3A%2F%2Focw.mit.edu%2Fcourses%2F8-01sc-classical-mechanics-fall-2016%2Fpages%2Fweek-5-momentum-and-impulse%2F17-1-definition-of-the-center-of-mass%2F)%20%E2%80%94%20Center%20of%20mass%3A%20compare%20the%20weighted-average%20definition%20with%20a%20physical%20balance%20argument.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20References%0A%0A%20%20%20%20-%20Ruina%20A%2C%20Rudra%20P%20(2019)%20%5BIntroduction%20to%20Statics%20and%20Dynamics%5D(https%3A%2F%2Fruina.tam.cornell.edu%2FBook%2Findex.html).%20Oxford%20University%20Press.%0A%0A%20%20%20%20-%20R.%20C.%20Hibbeler%20(2010)%20%5BEngineering%20Mechanics%20Dynamics%5D(https%3A%2F%2Fdrive.google.com%2Ffile%2Fd%2F1sDLluWCiBCog2C11_Iu1fjv-BtfVUxBU%2Fview).%2012th%20Edition.%20Pearson%20Prentice%20Hall.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A
b42ae188fad92a5c1a0e625e89e022d1