%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%22marimo%3E%3D0.23.9%22%2C%20%22numpy%3E%3D2.0%22%2C%20%22matplotlib%3E%3D3.9%22%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.25.2%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Free%20Body%20Diagram%20for%20Rigid%20Bodies%0A%0A%20%20%20%20%3E%20Renato%20Naville%20Watanabe%2C%20Marcos%20Duarte%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%3E%20%5BLaboratory%20of%20Biomechanics%20and%20Motor%20Control%5D(https%3A%2F%2Fbmclab.pesquisa.ufabc.edu.br%2F)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%3E%20Federal%20University%20of%20ABC%2C%20Brazil%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20How%20to%20use%20this%20guide%0A%0A%20%20%20%20Use%20each%20drawing%20to%20decide%20which%20body%20is%20isolated%20and%20which%20point%20is%20used%20for%20moments.%20We%20will%20compare%20fixed%20bars%2C%20rotating%20bodies%2C%20normal%20and%20inverted%20pendulums%2C%20a%20force%20platform%2C%20and%20linked%20pendulums.%20Work%20with%20both%20the%20force%20balance%20and%20the%20angular-momentum%20balance.%0A%0A%20%20%20%20Try%20the%20distributed%20**Exercises**%20before%20opening%20their%20collapsed%20worked%20solutions.%20Then%20use%20the%20**Checkpoint%20questions**%20and%20attempt%20the%20**Problems**%20independently%3B%20their%20panels%20contain%20final%20answers%20only.%20Predict%20the%20effect%20of%20a%20parameter%20change%20before%20running%20it%2C%20and%20check%20units%20and%20limiting%20cases.%0A%0A%20%20%20%20**Opening%20challenge.**%20A%20pendulum%20is%20momentarily%20at%20rest%20at%20the%20top%20of%20its%20swing.%20Is%20it%20in%20equilibrium%2C%20and%20which%20force%20determines%20its%20next%20angular%20acceleration%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Python%20setup%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%0A%20%20%20%20return%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Equivalent%20systems%0A%0A%0A%20%20%20%20A%20set%20of%20forces%20and%20moments%20is%20considered%20equivalent%20if%20its%20resultant%20force%20and%20sum%20of%20the%20moments%20computed%20relative%20to%20a%20given%20point%20are%20the%20same.%20Normally%2C%20we%20want%20to%20reduce%20all%20the%20forces%20and%20moments%20being%20applied%20to%20a%20body%20into%20a%20single%20force%20and%20a%20single%20moment.%0A%0A%20%20%20%20We%20have%20done%20this%20with%20particles%20for%20the%20resultant%20force.%20The%20resultant%20force%20is%20simply%20the%20sum%20of%20all%20the%20forces%20being%20applied%20to%20the%20body.%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7BF%7D%20%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5En%20%5Cvec%7BF_i%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20where%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7BF_i%7D%24%3C%2Fspan%3E%20is%20each%20force%20applied%20to%20the%20body.%0A%0A%20%20%20%20Similarly%2C%20the%20total%20moment%20applied%20to%20the%20body%20relative%20to%20a%20point%20O%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7BM_O%7D%20%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bi%7D%5Cvec%7Br_%7Bi%2FO%7D%7D%20%5Ctimes%20%5Cvec%7BF_i%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20where%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7Br_%7Bi%2FO%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E%20is%20the%20vector%20from%20the%20point%20O%20to%20the%20point%20where%20the%20force%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7B%5Cbf%7BF_i%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E%20is%20being%20applied.%0A%0A%20%20%20%20But%20where%20the%20resultant%20force%20should%20be%20applied%20in%20the%20body%3F%20If%20the%20resultant%20force%20were%20applied%20to%20any%20point%20different%20from%20the%20point%20O%2C%20it%20would%20produce%20an%20additional%20%20moment%20to%20the%20body%20relative%20to%20point%20O.%20So%2C%20the%20resultant%20force%20must%20be%20applied%20to%20the%20point%20O.%0A%0A%20%20%20%20So%2C%20any%20set%20of%20forces%20can%20be%20reduced%20to%20a%20moment%20relative%20to%20a%20chosen%20point%20O%20and%20a%20resultant%20force%20applied%20to%20the%20point%20O.%0A%0A%20%20%20%20To%20compute%20the%20resultant%20force%20and%20moment%20relative%20to%20another%20point%20O'%2C%20the%20new%20moment%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7BM_%7BO'%7D%7D%20%3D%20%5Cvec%7BM_O%7D%20%2B%20%5Cvec%7Br_%7BO'%2FO%7D%7D%20%5Ctimes%20%5Cvec%7BF%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20And%20the%20resultant%20force%20is%20the%20same.%0A%0A%20%20%20%20It%20is%20worth%20to%20note%20that%20if%20the%20resultant%20force%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7BF%7D%24%3C%2Fspan%3E%20is%20zero%2C%20than%20the%20moment%20is%20the%20same%20relative%20to%20any%20point.%0A%0A%20%20%20%20%3Cfigure%3E%3Cimg%20src%3D%22https%3A%2F%2Fgithub.com%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fimages%2FequivalentSystem.png%3Fraw%3D1%22%20width%3D800%2F%3E%3C%2Ffigure%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Steps%20to%20draw%20a%20free-body%20diagram%0A%0A%20%20%20%20The%20steps%20to%20draw%20the%20free-body%20diagram%20of%20a%20body%20is%20very%20similar%20to%20the%20case%20of%20particles.%0A%0A%20%20%20%201%20-%20Draw%20separately%20each%20object%20considered%20in%20the%20problem.%20How%20you%20separate%20depends%20on%20what%20questions%20you%20want%20to%20answer.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%202%20-%20Identify%20the%20forces%20acting%20on%20each%20object.%20If%20you%20are%20analyzing%20more%20than%20one%20object%2C%20remember%20the%20third%20Newton%20law%20(action%20and%20reaction)%2C%20and%20identify%20where%20the%20reaction%20of%20a%20force%20is%20being%20applied.%20Whenever%20a%20movement%20of%20translation%20of%20the%20body%20is%20constrained%2C%20a%20force%20at%20the%20direction%20of%20the%20constraint%20must%20exist.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%203%20-%20Identify%20the%20moments%20acting%20on%20each%20object.%20In%20the%20case%20you%20are%20analyzing%20more%20than%20one%20object%2C%20you%20must%20consider%20the%20%20action%20and%20reaction%20law%20(third%20Newton-Euler%20law).%20Whenever%20a%20movement%20of%20rotation%20of%20the%20body%20is%20constrained%2C%20a%20moment%20at%20the%20direction%20of%20the%20constraint%20must%20exist.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%204%20-%20Draw%20all%20the%20identified%20forces%2C%20representing%20them%20as%20vectors.%20The%20vectors%20should%20be%20represented%20with%20the%20origin%20in%20the%20object.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%205%20-%20Draw%20all%20the%20identified%20moments%2C%20representing%20them%20as%20vectors.%20In%20planar%20movements%2C%20the%20moments%20we%20be%20orthogonal%20to%20the%20considered%20plane.%20In%20these%20cases%2C%20normally%20the%20moment%20vectors%20are%20represented%20as%20curved%20arrows.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%206%20-%20If%20necessary%2C%20you%20should%20represent%20the%20reference%20frame%20(or%20references%20frames%20in%20case%20you%20use%20more%20than%20one%20reference%20frame)%20in%20the%20free-body%20diagram.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%207%20-%20After%20this%2C%20you%20can%20solve%20the%20problem%20using%20the%20First%20and%20Second%20Newton-Euler%20Laws%20(see%2C%20e.g%2C%20%5BNewton-Euler%20Laws%5D(https%3A%2F%2Fmolab.marimo.io%2Fgithub%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fnotebooks%2Fnewton_euler_equations.py))%20to%20find%20the%20motion%20of%20the%20body.%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7BF%7D%20%3D%20m%5Cvec%7Ba_%7Bcm%7D%7D%20%3D%20m%5Cfrac%7Bd%5E2%5Cvec%7Br_%7Bcm%7D%7D%7D%7Bdt%5E2%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7BM_O%7D%20%3D%20I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%5Cvec%7B%5Calpha%7D%20%2B%20m%20%5Cvec%7Br_%7Bcm%2FO%7D%7D%20%5Ctimes%20%5Cvec%7Ba_%7Bcm%7D%7D%3DI_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%5Cvec%7B%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta%7D%7Bdt%5E2%7D%7D%20%2B%20m%20%5Cvec%7Br_%7Bcm%2FO%7D%7D%20%5Ctimes%20%5Cfrac%7Bd%5E2%5Cvec%7Br_%7Bcm%7D%7D%7D%7Bdt%5E2%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Examples%0A%0A%20%20%20%20Below%2C%20we%20will%20see%20some%20examples%20of%20how%20to%20draw%20the%20free-body%20diagram%20and%20obtain%20the%20equation%20of%20motion.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Horizontal%20fixed%20bar%0A%0A%20%20%20%20The%20first%20example%20is%20an%20example%20of%20statics.%20The%20bar%20has%20**no%20velocity**%20and%20**no%20acceleration**.%20We%20can%20find%20the%20**force**%20and%20**moment**%20the%20wall%20is%20applying%20to%20the%20bar.%0A%0A%20%20%20%20%3Cfigure%3E%3Cimg%20src%3D%22https%3A%2F%2Fgithub.com%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fimages%2Fbar1.png%3Fraw%3D1%22%20width%3D150%20%2F%3E%3C%2Ffigure%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Free-body%20diagram%0A%0A%20%20%20%20The%20free-body%20diagram%20of%20the%20bar%20is%20depicted%20below.%20At%20the%20point%20where%20the%20bar%20is%20connected%20to%20the%20wall%2C%20there%20is%20a%20force%20%24%5Cvec%7BF_1%7D%24%20constraining%20the%20translation%20movement%20of%20the%20point%20O%20and%20a%20moment%20%24%5Cvec%7BM%7D%24%20constraining%20the%20rotation%20of%20the%20bar.%0A%0A%20%20%20%20%3Cfigure%3E%3Cimg%20src%3D%22https%3A%2F%2Fgithub.com%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fimages%2Fbar1FBD.png%3Fraw%3D1%22%20width%3D250%20%2F%3E%3C%2Ffigure%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Sum%20of%20the%20forces%20and%20moments%0A%0A%20%20%20%20The%20resultant%20force%20being%20applied%20to%20the%20bar%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7BF%7D%20%3D%20-mg%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D%20%2B%20%5Cvec%7BF_1%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20And%20the%20total%20moment%20in%20the%20z%20direction%20around%20the%20point%20O%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7BM_O%7D%20%3D%20%5Cvec%7Br_%7BC%2FO%7D%7D%5Ctimes-mg%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D%20%2B%20%5Cvec%7BM%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20The%20vector%20from%20the%20point%20O%20to%20the%20point%20C%20is%20given%20by%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7Br_%7BC%2FO%7D%7D%20%3D%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bi%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Newton-Euler%20laws%0A%20%20%20%20As%20the%20bar%20is%20fixed%2C%20all%20the%20accelerations%20are%20zero.%20So%20we%20can%20find%20the%20forces%20and%20the%20moment%20at%20the%20constraint.%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7BF%7D%20%3D%20%5Cvec%7B0%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24-mg%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D%20%2B%20%5Cvec%7BF_1%7D%20%3D%20%5Cvec%7B0%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7BF_1%7D%20%3D%20mg%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7BM_O%7D%20%3D%20%5Cvec%7B0%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7Br_%7BC%2FO%7D%7D%5Ctimes-mg%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D%20%2B%20%5Cvec%7BM%7D%20%3D%20%5Cvec%7B0%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bi%7D%7D%5Ctimes-mg%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D%20%2B%20%5Cvec%7BM%7D%20%3D%20%5Cvec%7B0%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24-%5Cfrac%7Bmgl%7D%7B2%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%20%2B%20%5Cvec%7BM%7D%20%3D%20%5Cvec%7B0%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7BM%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bmgl%7D%7B2%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Exercise%201%20%E2%80%94%20Choose%20the%20moment%20point.**%20A%20uniform%202%20kg%2C%201%20m%20horizontal%20rod%20is%20hinged%20at%20its%20left%20end%20and%20released.%20Find%20its%20initial%20angular%20acceleration%2C%20taking%20counterclockwise%20positive.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Solution%20to%20Exercise%201%0A%0A%20%20%20%20Gravity%20supplies%20%24-mgL%2F2%3D-9.81%24%20N%20m%20about%20the%20fixed%20hinge.%20With%20%24I_O%3DmL%5E2%2F3%3D2%2F3%24%20kg%20m%C2%B2%2C%20%24%5Calpha%3D-14.715%24%20rad%2Fs%C2%B2.%20The%20hinge%20force%20has%20zero%20moment%20about%20the%20hinge%2C%20but%20it%20is%20still%20present%20in%20the%20force%20balance.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Rotating%20ball%20with%20drag%20force%0A%0A%20%20%20%20A%20**basketball**%20has%20a%20mass%20**%24%5Cbf%7Bm%20%3D%200.63%7D%24%20kg**%20and%20radius%20equal%20%24%5Cbf%7BR%20%3D%2012%7D%24%20**cm**.%20A%20basketball%20player%20shots%20the%20ball%20from%20the%20free-throw%20line%20(**4.6%20m%20from%20the%20basket**)%20with%20a%20**speed%20of%209.5%20m%2Fs**%2C%20**angle%20of%2051%20degrees%20with%20the%20court**%2C%20**height%20of%202%20m**%20and%20**angular%20velocity%20of%2042%20rad%2Fs**.%20At%20the%20ball%20is%20acting%20a%20**drag%20force**%20%24%5Cbf%7Bb_l%20%3D%200.5%7D%24%20**N.s%2Fm**%20proportional%20to%20the%20modulus%20of%20the%20ball%20velocity%20in%20the%20opposite%20direction%20of%20the%20velocity%20and%20a%20**drag%20moment**%20%24%5Cbf%7Bb_r%20%3D%200.001%7D%24%20**N.m.s**%2C%20proportional%20and%20in%20the%20opposite%20direction%20of%20the%20angular%20velocity%20of%20the%20ball.%20Consider%20the%20moment%20of%20inertia%20of%20the%20ball%20as%20%24%5Cbf%7BI_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B2mR%5E2%7D%7B3%7D%7D%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Free-body%20diagram%0A%0A%20%20%20%20Below%20is%20depicted%20the%20free-body%20diagram%20of%20the%20ball.%0A%0A%20%20%20%20%3Cfigure%3E%3Cimg%20src%3D%22https%3A%2F%2Fgithub.com%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fimages%2FballRotDrag.png%3Fraw%3D1%22%20width%3D250%20%2F%3E%3C%2Ffigure%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Sum%20of%20forces%20and%20moments%0A%0A%20%20%20%20The%20resultant%20force%20being%20applied%20at%20the%20ball%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7BF%7D%20%3D%20-mg%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D%20-%20b_l%5Cvec%7Bv%7D%20%3D%20-mg%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D%20-%20b_l%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7Br%7D%7D%7Bdt%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7BM_C%7D%20%3D%20-%20b_r%5Comega%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%3D-%20b_r%5Cfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7Bdt%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Newton-Euler%20laws%0A%0A%20%20%20%20So%2C%20by%20the%20second%20Newton-Euler%20law%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24I_%7Bzz%7D%5E%7BC%7D%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta%7D%7Bdt%5E2%7D%3D%5Cvec%7BM_C%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24I_%7Bzz%7D%5E%7BC%7D%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta%7D%7Bdt%5E2%7D%20%3D%20-%20b_r%5Cfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7Bdt%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20and%20by%20the%20first%20Newton-Euler%20law%20(for%20a%20revision%20on%20Newton-Euler%20laws%2C%20%5Bsee%20this%20notebook%5D(https%3A%2F%2Fmolab.marimo.io%2Fgithub%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fnotebooks%2Fnewton_euler_equations.py))%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24m%5Cfrac%7Bd%5E2%5Cvec%7Br%7D%7D%7Bdt%5E2%7D%3D%5Cvec%7BF%7D%20%5Crightarrow%20%5Cfrac%7Bd%5E2%5Cvec%7Br%7D%7D%7Bdt%5E2%7D%20%3D%20-g%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D%20-%20%5Cfrac%7Bb_l%7D%7Bm%7D%5Cfrac%7Bd%5E2%5Cvec%7Br%7D%7D%7Bdt%5E2%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Equations%20of%20motion%0A%0A%20%20%20%20So%2C%20we%20can%20split%20the%20differential%20equations%20above%20in%20three%20equations%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta%7D%7Bdt%5E2%7D%20%3D%20-%20%5Cfrac%7Bb_r%7D%7BI_%7Bzz%7D%5E%7BC%7D%7D%5Cfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7Bdt%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cfrac%7Bd%5E2x%7D%7Bdt%5E2%7D%20%3D%20-%20%5Cfrac%7Bb_l%7D%7Bm%7D%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cfrac%7Bd%5E2y%7D%7Bdt%5E2%7D%20%3D%20-g%20-%20%5Cfrac%7Bb_l%7D%7Bm%7D%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdt%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Numerical%20solution%20of%20the%20equations%0A%0A%20%20%20%20To%20solve%20these%20equations%20numerically%2C%20we%20can%20split%20each%20of%20these%20equations%20in%20first-order%20equations%20and%20the%20use%20a%20numerical%20method%20to%20integrate%20them.%20The%20first-order%20equations%20we%20be%20written%20in%20a%20matrix%20form%2C%20considering%20the%20moment%20of%20inertia%20of%20the%20ball%20as%20%20%24I_%7Bzz%7D%5E%7BC%7D%3D%5Cfrac%7B2mR%5E2%7D%7B3%7D%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%5Cfrac%7Bd%5Comega%7D%7Bdt%7D%5C%5C%5Cfrac%7Bdv_x%7D%7Bdt%7D%5C%5C%5Cfrac%7Bdv_y%7D%7Bdt%7D%5C%5C%5Cfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7Bdt%7D%5C%5C%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdt%7D%5C%5C%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdt%7D%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%3D%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D-%20%5Cfrac%7B3b_r%7D%7B2mR%5E2%7D%5Comega%5C%5C-%20%5Cfrac%7Bb_l%7D%7Bm%7Dv_x%5C%5C-g%20-%20%5Cfrac%7Bb_l%7D%7Bm%7Dv_y%5C%5C%5Comega%5C%5Cv_x%5C%5Cv_y%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Below%2C%20the%20equations%20were%20solved%20numerically%20by%20using%20the%20Euler%20method%20(for%20a%20revision%20on%20numerical%20methods%20to%20solve%20ordinary%20differential%20equations%2C%20%5Bsee%20this%20notebook%5D(https%3A%2F%2Fmolab.marimo.io%2Fgithub%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fnotebooks%2Fordinary_differential_equation.py)).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20m%20%3D%200.63%0A%20%20%20%20R%20%3D%200.12%0A%20%20%20%20I%20%3D%202.0%2F3*m*R**2%0A%0A%20%20%20%20bl%20%3D%200.5%0A%20%20%20%20br%20%3D%200.001%0A%20%20%20%20g%20%3D%209.81%0A%0A%20%20%20%20x0%20%3D%200%0A%20%20%20%20y0%20%3D%202%0A%0A%20%20%20%20v0%20%3D%209.5%0A%20%20%20%20angle%20%3D%2051*np.pi%2F180.0%0A%0A%20%20%20%20vx0%20%3D%20v0*np.cos(angle)%0A%20%20%20%20vy0%20%3D%20v0*np.sin(angle)%0A%0A%20%20%20%20dt%20%3D%200.001%0A%20%20%20%20t%20%3D%20np.arange(0%2C%202.1%2C%20dt)%0A%0A%20%20%20%20x%20%3D%20x0%0A%20%20%20%20y%20%3D%20y0%0A%20%20%20%20vx%20%3D%20vx0%0A%20%20%20%20vy%20%3D%20vy0%0A%0A%20%20%20%20omega%20%3D%2042%0A%20%20%20%20theta%20%3D%200%0A%0A%20%20%20%20r%20%3D%20np.array(%5Bx%2Cy%5D)%0A%20%20%20%20ballAngle%20%3D%20np.array(%5Btheta%5D)%0A%0A%20%20%20%20state%20%3D%20np.array(%5Bomega%2C%20vx%2C%20vy%2C%20theta%2C%20x%2C%20y%5D)%0A%0A%20%20%20%20while%20state%5B4%5D%3C%3D4.6%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20dstatedt%20%3D%20np.array(%5B-br%2FI*state%5B0%5D%2C-bl%2Fm*state%5B1%5D%2C%20-g-bl%2Fm*state%5B2%5D%2Cstate%5B0%5D%2C%20state%5B1%5D%2C%20state%5B2%5D%20%5D)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20state%20%3D%20state%20%2B%20dt%20*%20dstatedt%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20r%20%3D%20np.vstack((r%2C%20%5Bstate%5B4%5D%2C%20state%5B5%5D%5D))%0A%20%20%20%20%20%20%20%20ballAngle%20%3D%20np.vstack((ballAngle%2C%20%5Bstate%5B3%5D%5D))%0A%0A%20%20%20%20plt.figure(figsize%3D(10%2C8))%0A%20%20%20%20plt.plot(r%5B0%3A-1%3A50%2C0%5D%2C%20r%5B0%3A-1%3A50%2C1%5D%2C%20marker%3D'o'%2C%20color%3Dnp.array(%5B1%2C%200.6%2C0%5D)%2C%20markersize%3D17%2C%20linestyle%3D'')%0A%20%20%20%20plt.plot(np.array(%5B4%2C%204.45%5D)%2C%20np.array(%5B3.05%2C%203.05%5D))%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range(len(r%5B0%3A-1%3A50%2C0%5D))%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20plt.plot(r%5Bi*50%2C0%5D%2Bnp.array(%5B-0.05*(np.cos(ballAngle%5Bi*50%5D)-np.sin(ballAngle%5Bi*50%5D))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200.05*(np.cos(ballAngle%5Bi*50%5D)-np.sin(ballAngle%5Bi*50%5D))%5D)%2C%20%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20r%5Bi*50%2C1%5D%20%2B%20np.array(%5B-0.05*(np.sin(ballAngle%5Bi*50%5D)%2Bnp.cos(ballAngle%5Bi*50%5D))%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%200.05*(np.sin(ballAngle%5Bi*50%5D)%2Bnp.cos(ballAngle%5Bi*50%5D))%5D)%2C'k')%0A%20%20%20%20plt.ylim((0%2C4.5))%0A%20%20%20%20plt.show()%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Above%20is%20the%20trajectory%20of%20the%20ball%20until%20it%20reaches%20the%20basket%20(height%20of%203.05%20m%2C%20marked%20with%20a%20blue%20line).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Pendulum%0A%0A%20%20%20%20Now%2C%20we%20will%20analyze%20a%20**pendulum**%20of%20**lenght**%24%5Cbf%7Bl%7D%24.%20It%20consists%20of%20a%20bar%20with%20its%20**upper%20part%20linked%20to%20a%20hinge**.%0A%0A%20%20%20%20%3Cfigure%3E%3Cimg%20src%3D%22https%3A%2F%2Fgithub.com%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fimages%2Fpendulum.png%3Fraw%3D1%22%20width%3D350%20alt%3D%22Pendulum%22%2F%3E%3C%2Ffigure%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Free-body%20diagram%0A%0A%20%20%20%20Below%20is%20the%20free-body%20diagram%20of%20the%20bar.%20On%20the%20center%20of%20mass%20of%20the%20bar%20is%20acting%20the%20gravitational%20force.%20On%20the%20point%20O%2C%20where%20there%20is%20a%20hinge%2C%20a%20force%20%24%5Cvec%7B%5Cbf%7BF_1%7D%7D%24%20restrains%20the%20point%20to%20translate.%20As%20the%20hinge%20does%20not%20constrains%20a%20rotational%20movement%20of%20the%20bar%2C%20there%20is%20no%20moment%20applied%20by%20the%20hinge.%0A%0A%20%20%20%20%3Cfigure%3E%3Cimg%20src%3D%22https%3A%2F%2Fgithub.com%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fimages%2FpendulumFBD.png%3Fraw%3D1%22%20width%3D300%20alt%3D%22Pendulum%20FBD%22%2F%3E%3C%2Ffigure%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Sum%20of%20the%20forces%20and%20moments%0A%0A%20%20%20%20To%20find%20the%20equation%20of%20motion%20of%20the%20bar%20we%20can%20use%20the%20second%20Newton-Euler%20law.%20So%2C%20we%20must%20find%20the%20sum%20of%20the%20moments%20and%20the%20resultant%20force%20being%20applied%20to%20the%20bar.%20The%20sum%20of%20moments%20could%20be%20computed%20relative%20to%20any%20point%2C%20but%20if%20we%20choose%20the%20fixed%20point%20O%2C%20it%20is%20easier%20because%20we%20can%20ignore%20the%20force%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7B%5Cbf%7BF_1%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E.%0A%0A%20%20%20%20The%20moment%20around%20the%20fixed%20point%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7BM_O%7D%20%3D%20%5Cvec%7Br_%7Bcm%2FO%7D%7D%20%5Ctimes%20(-mg%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D)%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20The%20resultant%20force%20applied%20in%20the%20bar%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7BF%7D%20%3D%20-mg%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D%20%2B%20%5Cvec%7BF_1%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Second%20Newton-Euler%20law%0A%0A%20%20%20%20The%20second%20Newton-Euler%20law%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7BM_O%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7BH_O%7D%7D%7Bdt%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20The%20angular%20momentum%20derivative%20of%20the%20bar%20around%20point%20O%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7BH_O%7D%7D%7Bdt%7D%20%3D%20I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%20%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta%7D%7Bdt%5E2%7D%20%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%20%20%2B%20m%20%5Cvec%7Br_%7Bcm%2FO%7D%7D%20%5Ctimes%20%5Cvec%7Ba_%7Bcm%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Kinematics%0A%0A%20%20%20%20The%20vector%20from%20point%20O%20to%20the%20center%20of%20mass%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7Br_%7Bcm%2FO%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D%5Csin%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bi%7D%7D-%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D%5Ccos%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20The%20position%20of%20the%20center%20of%20mass%20is%2C%20considering%20the%20point%20O%20as%20the%20origin%2C%20equal%20to%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7B%5Cbf%7Br_%7Bcm%2FO%7D%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E.%20So%2C%20the%20center%20of%20mass%20acceleration%20is%20obtained%20by%20deriving%20it%20twice.%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7Bv_%7Bcm%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cvec%7Br_%7Bcm%2FO%7D%7D%7D%7Bdt%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D(%5Ccos%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bi%7D%7D%2B%5Csin%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D)%5Cfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7Bdt%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7Ba_%7Bcm%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D(-%5Csin%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bi%7D%7D%2B%5Ccos%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D)%5Cleft(%5Cfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7Bdt%7D%5Cright)%5E2%20%2B%20%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D(%5Ccos%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bi%7D%7D%2B%5Csin%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D)%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta%7D%7Bdt%5E2%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Sum%20of%20the%20moments%0A%0A%20%20%20%20So%2C%20the%20moment%20around%20the%20point%20O%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cvec%7BM_O%7D%20%3D%20%5Cvec%7Br_%7Bcm%2FO%7D%7D%20%5Ctimes%20(-mg%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D)%20%3D%20%5Cleft(%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D%5Csin%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bi%7D%7D-%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D%5Ccos%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D%5Cright)%20%5Ctimes%20(-mg%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D)%20%3D%20%5Cfrac%7B-mgl%7D%7B2%7D%5Csin%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Derivative%20of%20the%20angular%20momentum%0A%0A%20%20%20%20And%20the%20derivative%20of%20the%20angular%20momentum%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%20l%7D%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7BH_O%7D%7D%7Bdt%7D%20%26%3D%26%20I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%20%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta%7D%7Bdt%5E2%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%20%20%2B%20m%20%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D(%5Csin%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bi%7D%7D-%5Ccos%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D)%20%5Ctimes%20%5Cleft%5B%20%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D(-%5Csin%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bi%7D%7D%2B%5Ccos%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D)%5Cleft(%5Cfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7Bdt%7D%5Cright)%5E2%20%2B%20%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D(%5Ccos%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bi%7D%7D%2B%5Csin%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D)%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta%7D%7Bdt%5E2%7D%20%20%20%20%5Cright%5D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%26%20I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%20%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta%7D%7Bdt%5E2%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%20%20%2B%20m%20%5Cfrac%7Bl%5E2%7D%7B4%7D%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta%7D%7Bdt%5E2%7D%20%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%20%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%26%20%5Cleft(I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bml%5E2%7D%7B4%7D%5Cright)%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta%7D%7Bdt%5E2%7D%20%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20The%20equation%20of%20motion%0A%0A%20%20%20%20Now%2C%20by%20using%20the%20Newton-Euler%20laws%2C%20we%20can%20obtain%20the%20differential%20equation%20that%20describes%20the%20bar%20angle%20along%20time%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7BH_O%7D%7D%7Bdt%7D%20%3D%20%5Cvec%7BM_O%7D%20%5Crightarrow%20%5Cfrac%7B-mgl%7D%7B2%7D%5Csin%7B%5Ctheta%7D%20%3D%20%5Cleft(I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bml%5E2%7D%7B4%7D%5Cright)%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta%7D%7Bdt%5E2%7D%20%5Crightarrow%20%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta%7D%7Bdt%5E2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B-2mgl%7D%7B%5Cleft(4I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%20%2B%20ml%5E2%5Cright)%7D%5Csin%7B%5Ctheta%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20The%20moment%20of%20inertia%20of%20the%20bar%20relative%20to%20its%20center%20of%20mass%20is%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bml%5E2%7D%7B12%7D%24%3C%2Fspan%3E%20(for%20a%20revision%20on%20moment%20of%20inertia%20see%20%5Bthis%20notebook%5D(https%3A%2F%2Fmolab.marimo.io%2Fgithub%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fnotebooks%2Fcenter_of_mass_and_moment_of_inertia.py)).%20%20So%2C%20the%20equation%20of%20motion%20of%20the%20pendulum%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta%7D%7Bdt%5E2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B-3g%7D%7B2l%7D%5Csin%7B%5Ctheta%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Exercise%202%20%E2%80%94%20Check%20the%20equilibrium.**%20For%20a%20simple%20pendulum%20with%20angle%20from%20the%20downward%20vertical%2C%20linearize%20%24%5Cddot%5Ctheta%3D-(g%2FL)%5Csin%5Ctheta%24.%20What%20changes%20if%20the%20angle%20is%20measured%20from%20the%20upward%20vertical%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Solution%20to%20Exercise%202%0A%0A%20%20%20%20Near%20the%20downward%20position%2C%20%24%5Cddot%5Ctheta%5Capprox-(g%2FL)%5Ctheta%24%2C%20a%20restoring%20acceleration.%20Near%20the%20upward%20position%2C%20%24%5Cddot%5Ctheta%5Capprox%2B(g%2FL)%5Ctheta%24%2C%20which%20drives%20a%20perturbation%20away%20from%20zero.%20Both%20positions%20can%20have%20zero%20velocity%3B%20their%20stability%20differs.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Inverted%20Pendulum%0A%0A%20%20%20%20At%20this%20example%20we%20analyze%20the%20inverted%20pendulum.%20It%20consists%20of%20a%20bar%20with%20**length**%20%24%5Cbf%7Bl%7D%24%20with%20its%20lowest%20extremity%20linked%20to%20a%20hinge.%0A%0A%20%20%20%20%3Cfigure%3E%3Cimg%20src%3D%22https%3A%2F%2Fgithub.com%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fimages%2FinvertedPendulum.png%3Fraw%3D1%22%20width%3D350%20alt%3D%22Inverted%20Pendulum%22%2F%3E%3C%2Ffigure%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Free-body%20diagram%0A%0A%20%20%20%20The%20free-body%20diagram%20of%20the%20bar%20is%20depicted%20below.%20At%20the%20point%20where%20the%20bar%20is%20linked%20to%20the%20hinge%2C%20a%20force%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7BF_1%7D%24%3C%2Fspan%3E%20acts%20at%20the%20bar%20due%20to%20the%20restraint%20of%20the%20translation%20imposed%20to%20the%20point%20O%20by%20the%20hinge.%20Additionally%2C%20the%20gravitational%20force%20acts%20at%20the%20center%20of%20mass%20of%20the%20bar.%0A%0A%20%20%20%20%3Cfigure%3E%3Cimg%20src%3D%22https%3A%2F%2Fgithub.com%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fimages%2FinvertedPendulumFBD.png%3Fraw%3D1%22%20width%3D300%20%2F%3E%3C%2Ffigure%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Sum%20of%20the%20forces%20and%20moments%0A%0A%20%20%20%20Similarly%20to%20pendulum%2C%20in%20this%20case%20we%20can%20find%20the%20equation%20of%20motion%20of%20the%20bar%20by%20using%20the%20second%20Newton-Euler%20law.%20To%20do%20that%20we%20must%20find%20the%20sum%20of%20the%20moments%20and%20the%20resultant%20force%20being%20applied%20to%20the%20bar.%20The%20sum%20of%20moments%20could%20be%20computed%20relative%20to%20any%20point%2C%20but%20if%20we%20choose%20the%20fixed%20point%20O%2C%20it%20is%20easier%20because%20we%20can%20ignore%20the%20force%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7BF_1%7D%24%3C%2Fspan%3E.%0A%0A%20%20%20%20The%20moment%20around%20the%20fixed%20point%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7BM_O%7D%20%3D%20%5Cvec%7Br_%7Bcm%2FO%7D%7D%20%5Ctimes%20(-mg%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D)%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20The%20resultant%20force%20applied%20in%20the%20bar%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7BF%7D%20%3D%20-mg%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D%20%2B%20%5Cvec%7BF_1%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Second%20Newton-Euler%20law%0A%0A%20%20%20%20The%20second%20Newton-Euler%20law%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7BM_O%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7BH_O%7D%7D%7Bdt%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20The%20angular%20momentum%20derivative%20of%20the%20bar%20around%20point%20O%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7BH_O%7D%7D%7Bdt%7D%20%3D%20I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%20%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta%7D%7Bdt%5E2%7D%20%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%20%20%2B%20m%20%5Cvec%7Br_%7Bcm%2FO%7D%7D%20%5Ctimes%20%5Cvec%7Ba_%7Bcm%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Kinematics%0A%0A%20%20%20%20The%20equations%20above%20are%20exactly%20the%20same%20of%20the%20pendulum%20example.%20The%20difference%20is%20in%20the%20kinematics%20of%20the%20bar.%20Now%2Cthe%20vector%20from%20point%20O%20to%20the%20center%20of%20mass%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7Br_%7Bcm%2FO%7D%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D%5Csin%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bi%7D%7D%2B%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D%5Ccos%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20The%20position%20of%20the%20center%20of%20mass%20of%20the%20bar%20is%20equal%20to%20the%20vector%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7B%5Cbf%7Br_%7Bcm%2FO%7D%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E%2C%20since%20the%20point%20O%20is%20with%20velocity%20zero%20relative%20to%20the%20global%20reference%20frame.%20So%20the%20center%20of%20mass%20acceleration%20can%20be%20obtained%20by%20deriving%20this%20vector%20twice%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7Bv_%7Bcm%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cvec%7Br_%7Bcm%2FO%7D%7D%7D%7Bdt%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D(%5Ccos%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bi%7D%7D%2B%5Csin%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D)%5Cfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7Bdt%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7Ba_%7Bcm%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D(%5Csin%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bi%7D%7D-%5Ccos%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D)%5Cleft(%5Cfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7Bdt%7D%5Cright)%5E2%20-%20%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D(%5Ccos%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bi%7D%7D%2B%5Csin%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D)%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta%7D%7Bdt%5E2%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Sum%20of%20the%20moments%0A%0A%0A%20%20%20%20So%2C%20the%20moment%20around%20the%20point%20O%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7BM_O%7D%20%3D%20%5Cvec%7Br_%7Bcm%2FO%7D%7D%20%5Ctimes%20(-mg%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D)%20%3D%20%5Cleft(-%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D%5Csin%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bi%7D%7D%2B%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D%5Ccos%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D%5Cright)%20%5Ctimes%20(-mg%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D)%20%3D%20%5Cfrac%7Bmgl%7D%7B2%7D%5Csin%7B%5Ctheta%7D%20%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Derivative%20of%20the%20angular%20momentum%0A%0A%20%20%20%20And%20the%20derivative%20of%20the%20angular%20momentum%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%20l%7D%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7BH_O%7D%7D%7Bdt%7D%20%26%3D%26%20I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%20%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta%7D%7Bdt%5E2%7D%20%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%20%2B%20m%20%5Cleft(-%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D%5Csin%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bi%7D%7D%2B%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D%5Ccos%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D%5Cright)%20%5Ctimes%20%5Cleft%5B%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D(%5Csin%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bi%7D%7D-%5Ccos%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D)%5Cleft(%5Cfrac%7Bd%5Ctheta%7D%7Bdt%7D%5Cright)%5E2%20-%20%5Cfrac%7Bl%7D%7B2%7D(%5Ccos%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bi%7D%7D%2B%5Csin%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D)%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta%7D%7Bdt%5E2%7D%5Cright%5D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%26%20I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%20%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta%7D%7Bdt%5E2%7D%20%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%20%2B%20m%20%5Cfrac%7Bl%5E2%7D%7B4%7D%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta%7D%7Bdt%5E2%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%26%20%5Cleft(I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bml%5E2%7D%7B4%7D%5Cright)%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta%7D%7Bdt%5E2%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20The%20equation%20of%20motion%0A%0A%0A%20%20%20%20By%20using%20the%20Newton-Euler%20laws%2C%20we%20can%20find%20the%20equation%20of%20motion%20of%20the%20bar%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7BH_O%7D%7D%7Bdt%7D%20%3D%20%5Cvec%7BM_O%7D%20%5Crightarrow%20%5Cleft(I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%20%2B%20%20%5Cfrac%7Bml%5E2%7D%7B4%7D%5Cright)%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta%7D%7Bdt%5E2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bmgl%7D%7B2%7D%5Csin%7B%5Ctheta%7D%20%5Crightarrow%20%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta%7D%7Bdt%5E2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B2mgl%7D%7B%5Cleft(4I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%20%2B%20ml%5E2%5Cright)%7D%5Csin(%5Ctheta)%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20The%20moment%20of%20inertia%20of%20the%20bar%20is%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bml%5E2%7D%7B12%7D%24%3C%2Fspan%3E.%20So%2C%20the%20equation%20of%20motion%20of%20the%20bar%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta%7D%7Bdt%5E2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B3g%7D%7B2l%7D%5Csin(%5Ctheta)%24%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Human%20quiet%20standing%0A%0A%20%20%20%20A%20very%20simple%20model%20of%20the%20human%20quiet%20standing%20(frequently%20used)%20is%20to%20use%20an%20inverted%20pendulum%20to%20model%20the%20human%20body.%20On%20%5Bthis%20notebook%5D(https%3A%2F%2Fmolab.marimo.io%2Fgithub%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fnotebooks%2Fip_model.py)%20there%20is%20a%20more%20comprehensive%20explanation%20of%20human%20standing.%20Consider%20the%20body%20as%20a%20rigid%20uniform%20bar%20with%20moment%20of%20inertia%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bm_Bh_G%5E2%7D%7B3%7D%24%3C%2Fspan%3E.%0A%0A%20%20%20%20%3Cfigure%3E%3Cimg%20src%3D%22https%3A%2F%2Fgithub.com%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fimages%2FquietStanding.png%3Fraw%3D1%22%20width%3D300%20alt%3D%22Quiet%20Standing%22%2F%3E%3C%2Ffigure%3E%0A%0A%20%20%20%20Adapted%20from%20%5BElias%2C%20Watanabe%20and%20Kohn%20(2014)%5D(https%3A%2F%2Fjournals.plos.org%2Fploscompbiol%2Farticle%3Fid%3D10.1371%2Fjournal.pcbi.1003944).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Free-body%20diagram%0A%0A%20%20%20%20Below%20is%20depicted%20the%20free-body%20diagram%20of%20the%20foot%20and%20the%20rest%20of%20the%20body.%20At%20the%20ankle%20joint%20there%20is%20a%20constraint%20to%20the%20translation%20of%20the%20ankle%20joint.%20So%2C%20a%20force%20%24%5Cvec%7B%5Cbf%7BF_1%7D%7D%24%20is%20applied%20to%20the%20body%20at%20the%20ankle%20joint.%20By%20the%20third%20Newton%20law%2C%20a%20force%20%20%24-%5Cvec%7B%5Cbf%7BF_1%7D%7D%24%20is%20applied%20to%20the%20foot%20at%20the%20ankle%20joint.%20At%20the%20center%20of%20mass%20of%20the%20body%20and%20of%20the%20foot%2C%20gravitational%20forces%20are%20applied.%20Additionally%2C%20a%20ground%20reaction%20force%20is%20applied%20to%20the%20foot%20at%20the%20center%20of%20pressure%20of%20the%20forces%20applied%20at%20the%20foot.%0A%0A%20%20%20%20Additionally%2C%20a%20moment%20%24%5Cvec%7BT_A%7D%24%20is%20applied%20at%20the%20body%20and%20its%20reaction%20is%20applied%20to%20the%20foot.%20This%20moment%20%24%5Cvec%7BT_A%7D%24%20comes%20from%20the%20muscles%20around%20the%20ankle%20joint.%20It%20is%20usual%20in%20Biomechanics%20to%20represent%20the%20net%20torque%20generated%20by%20all%20the%20muscles%20on%20a%20single%20joint%20as%20a%20single%20moment%20applied%20to%20the%20body.%0A%0A%20%20%20%20%3Cfigure%3E%3Cimg%20src%3D%22https%3A%2F%2Fgithub.com%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fimages%2FquietStandingFBD.png%3Fraw%3D1%22%20width%3D300%20%2F%3E%3C%2Ffigure%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Sum%20of%20the%20moments%0A%0A%20%20%20%20The%20process%20to%20obtain%20the%20equation%20of%20motion%20of%20the%20body%20is%20very%20similar%20to%20the%20pendulums.%20The%20moment%20around%20the%20ankle%20being%20applied%20to%20the%20body%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7BM_A%7D%20%3D%20%5Cvec%7BT_A%7D%20%2B%20%5Cvec%7Br_%7Bcm%2FA%7D%7D%20%5Ctimes%20(-m_Bg%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D)%24%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Second%20Newton-Euler%20law%0A%0A%20%20%20%20And%20the%20derivative%20of%20the%20angular%20momentum%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7BH_A%7D%7D%7Bdt%7D%20%3D%20I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_A%7D%7Bdt%5E2%7D%20%2B%20m%5Cvec%7Br_%7Bcm%2FA%7D%7D%20%5Ctimes%20%5Cvec%7Ba_%7Bcm%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Kinematics%0A%0A%20%20%20%20To%20find%20the%20kinematics%20of%20the%20bar%2C%20we%20could%20do%20the%20same%20procedure%20we%20have%20used%20in%20the%20pendulum%20and%20inverted%20pendulum%20examples%2C%20but%20this%20time%20we%20will%20use%20polar%20coordinates%20(for%20a%20revision%20on%20polar%20coordinates%2C%20see%20%5BPolar%20coordinates%20notebook%5D(polar_basis.py)).%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7Br_%7Bcm%2FA%7D%7D%20%3D%20%5Cvec%7Br_%7Bcm%7D%7D%20%3D%20h_G%5Chat%7B%5Cbf%7Be_r%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7Bv_%7Bcm%7D%7D%20%3D%20h_G%5Cfrac%7Bd%5Ctheta_A%7D%7Bdt%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%5Ctheta%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7Ba_%7Bcm%7D%7D%20%3D%20-h_G%5Cleft(%5Cfrac%7Bd%5Ctheta_A%7D%7Bdt%7D%5Cright)%5E2%5Chat%7B%5Cbf%7Be_r%7D%7D%20%2B%20h_G%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_A%7D%7Bdt%5E2%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%5Ctheta%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20where%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Chat%7B%5Cbf%7Be_r%7D%7D%20%3D%20-%5Csin(%5Ctheta_A)%5Chat%7B%5Cbf%7Bi%7D%7D%20%2B%20%5Ccos(%5Ctheta_A)%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E%20and%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%5Ctheta%7D%7D%20%3D%20-%5Ccos(%5Ctheta_A)%5Chat%7B%5Cbf%7Bi%7D%7D%20-%20%5Csin(%5Ctheta_A)%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Sum%20of%20the%20moments%0A%0A%20%20%20%20Having%20the%20kinematics%20computed%2C%20we%20can%20go%20back%20to%20the%20moment%20and%20derivative%20of%20the%20angular%20momentum%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7BM_A%7D%20%3D%20%20%5Cvec%7BT_A%7D%20%2B%20h_G%5Chat%7B%5Cbf%7Be_r%7D%7D%20%5Ctimes%20(-m_Bg%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D)%20%3D%20T_A%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%20%2B%20h_Gm_Bg%5Csin(%5Ctheta_A)%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Derivative%20of%20the%20angular%20momentum%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%20l%7D%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7BH_A%7D%7D%7Bdt%7D%20%26%3D%26%20I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_A%7D%7Bdt%5E2%7D%20%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%20%2B%20mh_G%5Chat%7B%5Cbf%7Be_r%7D%7D%20%5Ctimes%20%5Cleft(-h_G%5Cleft(%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_A%7D%7Bdt%5E2%7D%5Cright)%5E2%5Chat%7B%5Cbf%7Be_r%7D%7D%20%2B%20h_G%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_A%7D%7Bdt%5E2%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%5Ctheta%7D%7D%5Cright)%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%26%20I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_A%7D%7Bdt%5E2%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%20%2B%20mh_G%5E2%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_A%7D%7Bdt%5E2%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%26%20%5Cleft(I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%20%2B%20mh_G%5E2%5Cright)%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_A%7D%7Bdt%5E2%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20The%20equation%20of%20motion%0A%0A%20%20%20%20By%20using%20the%20Newton-Euler%20equations%2C%20we%20can%20now%20find%20the%20equation%20of%20motion%20of%20the%20body%20during%20quiet%20standing%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7BM_A%7D%3D%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7BH_A%7D%7D%7Bdt%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cleft(I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%20%2B%20mh_G%5E2%5Cright)%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_A%7D%7Bdt%5E2%7D%20%3D%20%20T_A%20%2B%20h_Gm_B%20g%5Csin(%5Ctheta_A)%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_A%7D%7Bdt%5E2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bh_Gm_B%20g%7D%7BI_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%20%2B%20mh_G%5E2%7D%5Csin(%5Ctheta_A)%2B%20%5Cfrac%7BT_A%7D%7BI_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%20%2B%20m_Bh_G%5E2%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20If%20we%20consider%20the%20body%20as%20a%20rigid%20uniform%20bar%2C%20the%20moment%20of%20inertia%20is%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bm_Bh_G%5E2%7D%7B3%7D%24%3C%2Fspan%3E.%20So%2C%20the%20equation%20of%20motion%20of%20the%20body%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_A%7D%7Bdt%5E2%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B3%20g%7D%7B4h_g%7D%5Csin(%5Ctheta_A)%2B%20%5Cfrac%7B3%20T_A%7D%7B4m_bh_G%5E2%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Exercise%203%20%E2%80%94%20Locate%20the%20pressure%20resultant.**%20A%20vertical%20force%20of%20600%20N%20produces%20a%20moment%20of%2030%20N%20m%20about%20a%20floor%20origin%2C%20with%20no%20horizontal-force%20height%20contribution.%20Find%20the%20horizontal%20center%20of%20pressure.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Solution%20to%20Exercise%203%0A%0A%20%20%20%20For%20the%20convention%20%24M_z%3Dx_%7BCOP%7DF_y%24%2C%20%24x_%7BCOP%7D%3D30%2F600%3D0.05%24%20m.%20Reversing%20an%20axis%20reverses%20the%20appropriate%20sign.%20Near%20zero%20vertical%20force%2C%20dividing%20by%20%24F_y%24%20becomes%20ill-conditioned%20and%20COP%20is%20not%20a%20useful%20contact%20descriptor.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Force%20platform%20(position%20of%20the%20center%20of%20pressure)%0A%0A%20%20%20%20From%20the%20same%20example%20above%2C%20now%20we%20will%20find%20the%20position%20of%20the%20center%20of%20pressure%20(%24COP_x%24)%20during%20the%20quiet%20standing.%20The%20%24COP_x%24%20is%20the%20point%20where%20the%20ground%20reaction%20force%20is%20being%20applied.%20The%20point%20O%20is%20linked%20to%20the%20ground%20in%20a%20way%20that%20it%20constraints%20the%20translation%20and%20rotation%20movement%20of%20the%20platform%20and%20is%20located%20at%20known%20distance%20%24y_0%24%20below%20the%20ground.%20Also%2C%20it%20is%20in%20the%20point%20O%20that%20sensors%20of%20force%20and%20moments%20are%20located.%0A%0A%20%20%20%20%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%3Cfigure%3E%3Cimg%20src%3D%22https%3A%2F%2Fgithub.com%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fimages%2FforcePlatform2DS.png%3Fraw%3D1%22%20width%3D250%20%2F%3E%3C%2Ffigure%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Free-body%20diagram%0A%0A%20%20%20%20The%20free-body%20diagram%20of%20the%20foot%20and%20the%20force%20platform%20is%20depicted%20below.%0A%0A%20%20%20%20%3Cfigure%3E%3Cimg%20src%3D%22https%3A%2F%2Fgithub.com%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fimages%2FforcePlatform2D.png%3Fraw%3D1%22%20width%3D300%20alt%3D%22Force%20Platform%202D%22%2F%3E%3C%2Ffigure%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20In%20the%20platform%20%2C%20the%20distance%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24y_0%24%3C%2Fspan%3E%20is%20known.%20As%20the%20platform%20is%20in%20equilibrium%20its%20derivative%20of%20the%20angular%20momentum%20is%20zero.%20Now%2C%20we%20must%20find%20the%20sum%20of%20the%20moments.%20As%20we%20can%20choose%20any%20point%2C%20we%20will%20choose%2C%20the%20point%20where%20the%20force%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7B%5Cbf%7BF%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E%20is%20being%20applied%2C%20and%20equal%20it%20to%20zero.%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7BM%7D%20%2B%20%5Cvec%7Br_%7BCOP%2FO%7D%7D%20%5Ctimes%20(-%5Cvec%7BGRF%7D)%20%3D%200%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20The%20vector%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7B%5Cbf%7Br_%7BCOP%2FO%7D%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7Br_%7BCOP%2FO%7D%7D%20%3D%20COP_x%20%5Chat%7B%5Cbf%7Bi%7D%7D%20%2B%20y_0%20%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20So%2C%20from%20the%20equation%20of%20the%20sum%20of%20the%20moments%20we%20can%20isolate%20the%20postion%20of%20the%20center%20of%20pressure%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24M%20-%20COP_x%20GRF_y%20%2B%20y_0%20GRF_x%20%3D%200%20%5Crightarrow%20COP_x%20%3D%20%5Cfrac%7BM%2By_0%20GRF_x%7D%7BGRF_y%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20Using%20the%20expression%20above%2C%20we%20can%20track%20the%20position%20of%20the%20center%20of%20pressure%20during%20an%20experiment.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Standing%20dummy%20(from%20Ruina%20and%20Pratap%20book)%0A%0A%20%20%20%20A%20standing%20dummy%20is%20modeled%20as%20having%20massless%20rigid%20circular%20feet%20of%20radius%20%24R%24%20rigidly%20attached%20to%20their%0A%20%20%20%20uniform%20rigid%20body%20of%20length%20%24L%24%20and%20mass%20%24m%24.%20The%20feet%20do%20not%20slip%20on%20the%20floor.%0A%0A%20%20%20%20%3Cfigure%3E%3Cimg%20src%3D%22https%3A%2F%2Fgithub.com%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fimages%2Frocker.png%3Fraw%3D1%22%20width%3D450%20%2F%3E%3C%2Ffigure%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Free-body%20diagram%0A%0A%20%20%20%20Below%20is%20depicted%20the%20fee-body%20diagram.%20The%20point%20C%20is%20the%20point%20of%20contact%20with%20the%20ground.%20Note%20that%20this%20point%20changes%20its%20position%20along%20time%2C%20but%20instantly%20it%20has%20velocity%20zero.%0A%0A%20%20%20%20%3Cfigure%3E%3Cimg%20src%3D%22https%3A%2F%2Fgithub.com%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fimages%2FrockerFBD.png%3Fraw%3D1%22%20width%3D450%20alt%3D%22Rocker%20FBD%22%2F%3E%3C%2Ffigure%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Kinematics%0A%0A%20%20%20%20Using%20the%20versors%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_r%7D%7D%20%3D%20-%5Csin(%5Ctheta_A)%5Chat%7B%5Cbf%7Bi%7D%7D%20%2B%20%5Ccos(%5Ctheta_A)%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%5Ctheta%7D%7D%20%3D%20-%5Ccos(%5Ctheta_A)%5Chat%7B%5Cbf%7Bi%7D%7D%20-%20%5Csin(%5Ctheta_A)%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20vector%20from%20the%20point%20C%20to%20the%20center%20of%20mass%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cvec%7Br_%7Bcm%2FC%7D%7D%20%3D%20R%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D%20%2B%20%5Cleft(%5Cfrac%7BL%7D%7B2%7D%20-%20R%20%5Cright)%5Chat%7B%5Cbf%7Be_r%7D%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20position%20of%20the%20center%20of%20mass%2C%20relative%20to%20the%20origin%20is%20different%20from%20%24%5Cvec%7Br_%7Bcm%2FC%7D%7D%24.%20We%20can%20consider%20the%20origin%20of%20the%20system%20as%20the%20point%20of%20contact%20with%20the%20ground%20when%20the%20standing%20dummy%20is%20at%20the%20vertical%20position.%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cvec%7Br_%7Bcm%7D%7D%20%3D%20-R%5Ctheta%5Chat%7B%5Cbf%7Bi%7D%7D%20%2B%20R%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D%20%2B%20%5Cleft(%5Cfrac%7BL%7D%7B2%7D%20-%20R%20%5Cright)%5Chat%7B%5Cbf%7Be_r%7D%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cvec%7Bv_%7Bcm%7D%7D%20%3D%20-R%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bi%7D%7D%20%2B%20%5Cleft(%5Cfrac%7BL%7D%7B2%7D%20-%20R%20%5Cright)%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%5Ctheta%7D%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cvec%7Ba_%7Bcm%7D%7D%20%3D%20-R%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bi%7D%7D%20%2B%20%5Cleft(%5Cfrac%7BL%7D%7B2%7D%20-%20R%20%5Cright)%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%5Ctheta%7D%7D%20-%20%5Cleft(%5Cfrac%7BL%7D%7B2%7D%20-%20R%20%5Cright)%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5E2%5Chat%7B%5Cbf%7Be_r%7D%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Sum%20of%20the%20moments%0A%0A%0A%20%20%20%20So%2C%20the%20moment%20around%20the%20point%20C%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7BM_C%7D%20%3D%20%5Cvec%7Br_%7Bcm%2FC%7D%7D%20%5Ctimes%20(-mg%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D)%20%3D%20%5Cleft%5BR%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D%20%2B%20%5Cleft(%5Cfrac%7BL%7D%7B2%7D%20-%20R%20%5Cright)%5Chat%7B%5Cbf%7Be_r%7D%7D%20%5Cright%5D%20%5Ctimes%20(-mg%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D)%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7BM_C%7D%20%3D%20mg%5Cleft(%5Cfrac%7BL%7D%7B2%7D%20-%20R%20%5Cright)%5Csin%7B%5Ctheta%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Derivative%20of%20the%20angular%20momentum%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%20l%7D%0A%20%20%20%20%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%7BH_C%7D%7D%7Bdt%7D%20%26%3D%26%20I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%20%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%20%2B%20m%5Cvec%7B%5Cbf%7Br_%7Bcm%2FC%7D%7D%7D%20%5Ctimes%20%5Cvec%7B%5Cbf%7Ba_%7Bcm%7D%7D%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%26%20%5Cleft%5BmR%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D%20%2B%20m%5Cleft(%5Cfrac%7BL%7D%7B2%7D%20-%20R%20%5Cright)%5Chat%7B%5Cbf%7Be_r%7D%7D%5Cright%5D%20%5Ctimes%20%5Cleft%5B-R%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bi%7D%7D%20%2B%20%5Cleft(%5Cfrac%7BL%7D%7B2%7D%20-%20R%20%5Cright)%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%5Ctheta%7D%7D%20-%20%5Cleft(%5Cfrac%7BL%7D%7B2%7D%20-%20R%20%5Cright)%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5E2%5Chat%7B%5Cbf%7Be_r%7D%7D%5Cright%5D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7BH_C%7D%7D%7Bdt%7D%20%3D%20%5Cleft(I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%20%2B%20mR%5E2%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%20%2B%20mR%5Cleft(%5Cfrac%7BL%7D%7B2%7D%20-%20mR%20%5Cright)%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%5Ccos%7B%5Ctheta%7D%20-%20mR%5Cleft(%5Cfrac%7BL%7D%7B2%7D%20-%20mR%20%5Cright)%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5E2%5Csin%7B%5Ctheta%7D%20%2B%20mR%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%5Cleft(%5Cfrac%7BL%7D%7B2%7D%20-%20R%20%5Cright)%5Ccos%7B%5Ctheta%7D%2Bm%5Cleft(%5Cfrac%7BL%7D%7B2%7D%20-%20R%20%5Cright)%5E2%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%5Cright)%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%20%3D%20%5Cleft(I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%2BmR%5E2%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%20%2B%202mR%5Cleft(%5Cfrac%7BL%7D%7B2%7D%20-%20R%20%5Cright)%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%5Ccos%7B%5Ctheta%7D%20-%20mR%5Cleft(%5Cfrac%7BL%7D%7B2%7D%20-%20R%20%5Cright)%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5E2%5Csin%7B%5Ctheta%7D%20%2B%20m%5Cleft(%5Cfrac%7BL%7D%7B2%7D%20-%20R%20%5Cright)%5E2%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%5Cright)%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%20%3D%20%5Cleft(I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%20%2B%20mR%5E2%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%20%2B%20m%5Cleft(RL%20-%202R%5E2%20%5Cright)%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%5Ccos%7B%5Ctheta%7D%20-%20m%5Cleft(%5Cfrac%7BRL%7D%7B2%7D%20-%20R%5E2%20%5Cright)%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5E2%5Csin%7B%5Ctheta%7D%20%2B%20m%5Cleft(%5Cfrac%7BL%5E2%7D%7B4%7D%20-%20LR%20%2B%20R%5E2%20%5Cright)%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%5Cright)%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7BH_C%7D%7D%7Bdt%7D%20%3D%20%5Cleft(I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%2B2mR%5E2%20%2B%20mRL%5Ccos%7B%5Ctheta%7D%20-%202mR%5E2%5Ccos%7B%5Ctheta%7D%20%2B%20m%5Cfrac%7BL%5E2%7D%7B4%7D-mLR%5Cright)%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%20-%20m%5Cleft(%5Cfrac%7BRL%7D%7B2%7D%20-%20R%5E2%20%5Cright)%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5E2%5Csin%7B%5Ctheta%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Considering%20the%20moment%20of%20inertia%20of%20the%20bar%20as%20%24I_%7Bzz%7D%5E%7Bcm%7D%20%3D%20%5Cfrac%7BmL%5E2%7D%7B12%7D%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7BH_C%7D%7D%7Bdt%7D%20%3D%20%5Cleft(%5Cfrac%7BmL%5E2%7D%7B12%7D%2B2mR%5E2%20%2B%20mRL%5Ccos%7B%5Ctheta%7D%20-%202mR%5E2%5Ccos%7B%5Ctheta%7D%20%2B%20%5Cfrac%7BmL%5E2%7D%7B4%7D-mLR%5Cright)%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%20-%20m%5Cleft(%5Cfrac%7BRL%7D%7B2%7D%20-%20R%5E2%20%5Cright)%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5E2%5Csin%7B%5Ctheta%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7BH_C%7D%7D%7Bdt%7D%20%3D%20%5Cleft(%5Cfrac%7BmL%5E2%7D%7B3%7D%2B(2mR%5E2-%20mRL)(1-%5Ccos%7B%5Ctheta%7D)%5Cright)%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%20-%20m%5Cleft(%5Cfrac%7BRL%7D%7B2%7D%20-%20R%5E2%20%5Cright)%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5E2%5Csin%7B%5Ctheta%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20The%20equation%20of%20motion%0A%0A%20%20%20%20By%20the%20second%20Newton-Euler%20law%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cleft(2mL%5E2%2B(12mR%5E2-%206mRL)(1-%5Ccos%7B%5Ctheta%7D)%5Cright)%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%20-%20m%5Cleft(3RL%20-%206R%5E2%20%5Cright)%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5E2%5Csin%7B%5Ctheta%7D%20%3D%20mg%5Cleft(3L%20-%206R%20%5Cright)%5Csin%7B%5Ctheta%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cleft(2L%5E2%2B(12R%5E2-%206RL)(1-%5Ccos%7B%5Ctheta%7D)%5Cright)%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%20%3D%20g%5Cleft(3L%20-%206R%20%5Cright)%5Csin%7B%5Ctheta%7D%20%2B%20%5Cleft(3RL%20-%206R%5E2%20%5Cright)%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5E2%5Csin%7B%5Ctheta%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B3%5Cleft(L%20-%202R%20%5Cright)%5Csin%7B%5Ctheta%7D%5Cleft(g%20%2B%20R%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5E2%5Cright)%7D%7B2L%5E2%2B(12R%5E2-%206RL)(1-%5Ccos%7B%5Ctheta%7D)%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Exercise%204%20%E2%80%94%20Account%20for%20moving%20origins.**%20You%20take%20moments%20about%20a%20point%20attached%20to%20an%20accelerating%20body%20rather%20than%20its%20center.%20Can%20you%20always%20use%20%24%5Csum%20M_O%3DI_O%5Calpha%24%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Solution%20to%20Exercise%204%0A%0A%20%20%20%20No.%20For%20a%20planar%20body-fixed%20point%2C%20include%20%24%5Cmathbf%20r_%7BC%2FO%7D%5Ctimes%20m%5Cmathbf%20a_O%24%3A%20%24%5Csum%20M_O%3DI_O%5Calpha%2B%5Cmathbf%20r_%7BC%2FO%7D%5Ctimes%20m%5Cmathbf%20a_O%24.%20The%20extra%20term%20vanishes%20at%20a%20fixed%20point%20or%20at%20the%20center%2C%20not%20at%20an%20arbitrary%20moving%20joint.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Double%20pendulum%20with%20actuators%0A%0A%20%20%20%20The%20figure%20below%20shows%20a%20%20double%20pendulum.%20This%20model%20can%20represent%2C%20for%20example%2C%20the%20arm%20and%20forearm%20of%20a%20subject.%0A%0A%20%20%20%20%3Cfigure%3E%3Cimg%20src%3D%22https%3A%2F%2Fgithub.com%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fimages%2FdoublePendulum.png%3Fraw%3D1%22%20width%3D350%20%2F%3E%3C%2Ffigure%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Free-body%20diagram%0A%0A%20%20%20%20The%20free-body%20diagrams%20of%20both%20bars%20are%20depicted%20below.%20There%20are%20constraint%20%20forces%20at%20all%20joints%20and%20moments%20from%20the%20muscles%20from%20both%20joints.%0A%0A%20%20%20%20%3Cfigure%3E%3Cimg%20src%3D%22https%3A%2F%2Fgithub.com%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fimages%2FdoublePendulumFBD.png%3Fraw%3D1%22%20width%3D700%20%2F%3E%3C%2Ffigure%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Definition%20of%20versors%0A%0A%20%20%20%20The%20versors%20%24%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_1%7D%7D%7D%24%2C%20%24%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_2%7D%7D%7D%24%2C%20%24%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7B%5Ctheta_1%7D%7D%7D%24%20and%20%24%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7B%5Ctheta_2%7D%7D%7D%24%20are%20defined%20as%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_1%7D%7D%7D%20%3D%20%5Csin(%5Ctheta_1)%20%5Chat%7B%5Cbf%7Bi%7D%7D%20-%20%5Ccos(%5Ctheta_1)%20%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7B%5Ctheta_1%7D%7D%7D%20%3D%20%5Ccos(%5Ctheta_1)%20%5Chat%7B%5Cbf%7Bi%7D%7D%20%2B%20%5Csin(%5Ctheta_1)%20%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_2%7D%7D%7D%20%3D%20%5Csin(%5Ctheta_2)%20%5Chat%7B%5Cbf%7Bi%7D%7D%20-%20%5Ccos(%5Ctheta_2)%20%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7B%5Ctheta_2%7D%7D%7D%20%3D%20%5Ccos(%5Ctheta_2)%20%5Chat%7B%5Cbf%7Bi%7D%7D%20%2B%20%5Csin(%5Ctheta_2)%20%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Kinematics%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7Br_%7BC1%2FO1%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bl_1%7D%7B2%7D%20%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_1%7D%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7Br_%7BO2%2FO1%7D%7D%20%3D%20l_1%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_1%7D%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7Br_%7BC1%7D%7D%20%3D%20%5Cvec%7Br_%7BC1%2FO1%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bl_1%7D%7B2%7D%20%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_1%7D%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7Bv_%7BC1%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bl_1%7D%7B2%7D%5Cfrac%7Bd%5Ctheta_1%7D%7Bdt%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7B%5Ctheta_1%7D%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7Ba_%7BC1%7D%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7Bl_1%7D%7B2%7D%5Cleft(%5Cfrac%7Bd%5Ctheta_1%7D%7Bdt%7D%5Cright)%5E2%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_1%7D%7D%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bl_1%7D%7B2%7D%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_1%7D%7Bdt%5E2%7D%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7B%5Ctheta_1%7D%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7Br_%7BC2%2FO2%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bl_2%7D%7B2%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_2%7D%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7Br_%7BC2%7D%7D%20%3D%20%5Cvec%7Br_%7BO2%2FO1%7D%7D%20%2B%20%5Cvec%7Br_%7BC2%2FO2%7D%7D%20%3D%20%20l_1%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_1%7D%7D%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bl_2%7D%7B2%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_2%7D%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7Bv_%7BC2%7D%7D%20%3D%20l_1%5Cfrac%7Bd%5Ctheta_1%7D%7Bdt%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7B%5Ctheta_1%7D%7D%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bl_2%7D%7B2%7D%5Cfrac%7Bd%5Ctheta_1%7D%7Bdt%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7B%5Ctheta_2%7D%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7Ba_%7BC2%7D%7D%20%3D%20-l_1%5Cleft(%5Cfrac%7Bd%5Ctheta_1%7D%7Bdt%7D%5Cright)%5E2%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_1%7D%7D%7D%20%2B%20l_1%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_1%7D%7Bdt%5E2%7D%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7B%5Ctheta_1%7D%7D%7D%20-%5Cfrac%7Bl_2%7D%7B2%7D%5Cleft(%5Cfrac%7Bd%5Ctheta_2%7D%7Bdt%7D%5Cright)%5E2%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_2%7D%7D%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bl_2%7D%7B2%7D%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_2%7D%7Bdt%5E2%7D%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7B%5Ctheta_2%7D%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Sum%20of%20the%20moments%20of%20the%20lower%20bar%20around%20O2%0A%0A%20%20%20%20First%2C%20we%20can%20analyze%20the%20the%20sum%20of%20the%20moments%20and%20the%20derivative%20of%20the%20angular%20momentum%20at%20the%20lower%20bar%20relative%20to%20the%20point%20O2.%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20class%3D%22notranslate%22%3E%24%5Cvec%7BM_%7BO2%7D%7D%20%3D%20%5Cvec%7Br_%7BC2%2FO2%7D%7D%20%5Ctimes%20(-m_2g%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D)%20%2B%20%5Cvec%7BM_%7B12%7D%7D%20%3D%20%20%5Cfrac%7Bl_2%7D%7B2%7D%20%20%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_2%7D%7D%7D%20%5Ctimes%20(-m_2g%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D)%20%2B%20%5Cvec%7BM_%7B12%7D%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7Bm_2gl_2%7D%7B2%7D%5Csin(%5Ctheta_2)%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%20%2B%20%5Cvec%7BM_%7B12%7D%7D%24%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Derivative%20of%20angular%20momentum%20of%20the%20lower%20bar%20around%20O2%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7BH_%7BO2%7D%7D%7D%7Bdt%7D%20%3D%20I_%7Bzz%7D%5E%7BC2%7D%20%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_2%7D%7Bdt%5E2%7D%20%2B%20m_2%20%5Cvec%7Br_%7BC2%2FO2%7D%7D%20%5Ctimes%20%5Cvec%7Ba_%7BC2%7D%7D%20%3D%20I_%7Bzz%7D%5E%7BC2%7D%20%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_2%7D%7Bdt%5E2%7D%20%2B%20m_2%20%5Cfrac%7Bl_2%7D%7B2%7D%20%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_2%7D%7D%7D%20%5Ctimes%20%5Cleft%5B-l_1%5Cleft(%5Cfrac%7Bd%5Ctheta_1%7D%7Bdt%7D%5Cright)%5E2%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_1%7D%7D%7D%20%2B%20l_1%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_1%7D%7Bdt%5E2%7D%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7B%5Ctheta_1%7D%7D%7D%20-%5Cfrac%7Bl_2%7D%7B2%7D%5Cleft(%5Cfrac%7Bd%5Ctheta_2%7D%7Bdt%7D%5Cright)%5E2%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_2%7D%7D%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bl_2%7D%7B2%7D%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_2%7D%7Bdt%5E2%7D%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7B%5Ctheta_2%7D%7D%7D%5Cright%5D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20To%20complete%20the%20computation%20of%20the%20derivative%20of%20the%20angular%20momentum%20we%20must%20find%20the%20products%0A%20%20%20%20%24%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_2%7D%7D%7D%20%5Ctimes%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_1%7D%7D%7D%24%2C%20%20%24%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_2%7D%7D%7D%20%5Ctimes%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7B%5Ctheta_1%7D%7D%7D%24%20and%0A%20%20%20%20%24%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_1%7D%7D%7D%20%5Ctimes%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7B%5Ctheta_2%7D%7D%7D%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_2%7D%7D%7D%20%5Ctimes%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7B%5Ctheta_1%7D%7D%7D%20%3D%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%5Csin(%5Ctheta_2)%5C%5C-%5Ccos(%5Ctheta_2)%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%5Ctimes%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%5Ccos(%5Ctheta_1)%5C%5C%5Csin(%5Ctheta_1)%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%3D%20%5Csin(%5Ctheta_1)%5Csin(%5Ctheta_2)%2B%5Ccos(%5Ctheta_1)%5Ccos(%5Ctheta_2)%20%3D%20%5Ccos(%5Ctheta_1-%5Ctheta_2)%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_2%7D%7D%7D%20%5Ctimes%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_1%7D%7D%7D%20%3D%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%5Csin(%5Ctheta_2)%5C%5C-%5Ccos(%5Ctheta_2)%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%5Ctimes%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%5Csin(%5Ctheta_1)%5C%5C-%5Ccos(%5Ctheta_1)%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%3D%20-%5Csin(%5Ctheta_2)%5Ccos(%5Ctheta_1)%2B%5Ccos(%5Ctheta_2)%5Csin(%5Ctheta_1)%20%3D%20%5Csin(%5Ctheta_1-%5Ctheta_2)%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_1%7D%7D%7D%20%5Ctimes%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7B%5Ctheta_2%7D%7D%7D%20%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%5Csin(%5Ctheta_1)%5C%5C-%5Ccos(%5Ctheta_1)%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%5Ctimes%20%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%5Ccos(%5Ctheta_2)%5C%5C%5Csin(%5Ctheta_2)%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20%3D%20%5Csin(%5Ctheta_2)%5Csin(%5Ctheta_1)%2B%5Ccos(%5Ctheta_2)%5Ccos(%5Ctheta_1)%20%3D%20%5Ccos(%5Ctheta_1-%5Ctheta_2)%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20So%2C%20the%20derivative%20of%20the%20angular%20momentum%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Bsplit%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7BH_%7BO2%7D%7D%7D%7Bdt%7D%20%26%3D%20%20I_%7Bzz%7D%5E%7BC2%7D%20%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_2%7D%7Bdt%5E2%7D%20-%20%5Cfrac%7Bm_2l_1l_2%7D%7B2%7D%5Cleft(%5Cfrac%7Bd%5Ctheta_1%7D%7Bdt%7D%5Cright)%5E2%20%5Csin(%5Ctheta_1-%5Ctheta_2)%20%2B%20%5Cfrac%7Bm_2l_1l_2%7D%7B2%7D%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_1%7D%7Bdt%5E2%7D%20%5Ccos(%5Ctheta_1-%5Ctheta_2)%20%2B%20%5Cfrac%7Bm_2l_2%5E2%7D%7B4%7D%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_2%7D%7Bdt%5E2%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20%20%5Cfrac%7Bm_2l_1l_2%7D%7B2%7D%5Ccos(%5Ctheta_1-%5Ctheta_2)%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_1%7D%7Bdt%5E2%7D%20%2B%20%5Cleft(I_%7Bzz%7D%5E%7BC2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bm_2l_2%5E2%7D%7B4%7D%20%5Cright)%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_2%7D%7Bdt%5E2%7D-%20%5Cfrac%7Bm_2l_1l_2%7D%7B2%7D%5Cleft(%5Cfrac%7Bd%5Ctheta_1%7D%7Bdt%7D%5Cright)%5E2%20%5Csin(%5Ctheta_1-%5Ctheta_2)%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bsplit%7D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Sum%20of%20moments%20of%20the%20upper%20bar%20around%20O1%0A%0A%20%20%20%20Now%20we%20can%20analyze%20the%20sum%20of%20the%20moments%20and%20the%20derivative%20of%20the%20angular%20momentum%20at%20the%20upper%20bar.%20They%20will%20be%20computed%20relative%20to%20the%20point%20O1.%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%20l%7D%0A%20%20%20%20%5Cvec%7BM_%7BO1%7D%7D%20%26%3D%26%20%5Cvec%7Br_%7BC1%2FO1%7D%7D%20%5Ctimes%20(-m_1g%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D)%20%2B%20%5Cvec%7Br_%7BO2%2FO1%7D%7D%20%5Ctimes%20(-%5Cvec%7BF_%7B12%7D%7D)%20%2B%20%5Cvec%7BM_%7B1%7D%7D%20-%20%5Cvec%7BM_%7B12%7D%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%26%20%5Cfrac%7Bl_1%7D%7B2%7D%20%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_1%7D%7D%7D%20%20%5Ctimes%20(-m_1g%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D)%20%2B%20l_1%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_1%7D%7D%7D%20%5Ctimes%20(-%5Cvec%7BF_%7B12%7D%7D)%20%2B%20%5Cvec%7BM_%7B1%7D%7D%20-%20%5Cvec%7BM_%7B12%7D%7D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cvec%7BM_%7BO1%7D%7D%3D%20%5Cfrac%7B-m_1gl_1%7D%7B2%7D%5Csin(%5Ctheta_1)%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%20%2B%20l_1%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_1%7D%7D%7D%20%5Ctimes%20(-%5Cvec%7BF_%7B12%7D%7D)%20%2B%20%5Cvec%7BM_%7B1%7D%7D%20-%20%5Cvec%7BM_%7B12%7D%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20It%20remains%20to%20find%20the%20force%0A%20%20%20%20%24%5Cvec%7BF_%7B12%7D%7D%24%20that%20is%20in%20the%20sum%20of%20moment%20of%20the%20upper%20bar.%20It%20can%20be%20found%20by%20finding%20the%20resultant%20force%20in%20the%20lower%20bar%20and%20use%20the%20First%20Newton-Euler%20law%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cvec%7BF_%7B12%7D%7D%20-%20m_2g%20%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D%20%3D%20m%5Cvec%7Ba_%7BC2%7D%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cvec%7BF_%7B12%7D%7D%20%20%3D%20%20m_2g%20%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D%20%20%2B%20m_2%5Cleft%5B-l_1%5Cleft(%5Cfrac%7Bd%5Ctheta_1%7D%7Bdt%7D%5Cright)%5E2%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_1%7D%7D%7D%20%2B%20l_1%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_1%7D%7Bdt%5E2%7D%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7B%5Ctheta_1%7D%7D%7D%20-%5Cfrac%7Bl_2%7D%7B2%7D%5Cleft(%5Cfrac%7Bd%5Ctheta_2%7D%7Bdt%7D%5Cright)%5E2%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_2%7D%7D%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bl_2%7D%7B2%7D%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_2%7D%7Bdt%5E2%7D%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7B%5Ctheta_2%7D%7D%7D%5Cright%5D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Now%2C%20we%20can%20go%20back%20to%20the%20moment%20%24%5Cvec%7BM_%7BO1%7D%7D%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Bsplit%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cvec%7BM_%7BO1%7D%7D%20%26%3D%20%5Cfrac%7B-m_1gl_1%7D%7B2%7D%5Csin(%5Ctheta_1)%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%20%2B%20l_1%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_1%7D%7D%7D%20%5Ctimes%20(-%5Cvec%7B%5Cbf%7BF_%7B12%7D%7D%7D)%20%2B%20%5Cvec%7BM_%7B1%7D%7D%20-%20%5Cvec%7BM_%7B12%7D%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20-%5Cfrac%7Bm_1gl_1%7D%7B2%7D%5Csin(%5Ctheta_1)%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%20-%20l_1%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_1%7D%7D%7D%20%5Ctimes%20%20%20m_2%5Cleft%5Bg%20%5Chat%7B%5Cbf%7Bj%7D%7D-l_1%5Cleft(%5Cfrac%7Bd%5Ctheta_1%7D%7Bdt%7D%5Cright)%5E2%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_1%7D%7D%7D%20%2B%20l_1%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_1%7D%7Bdt%5E2%7D%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7B%5Ctheta_1%7D%7D%7D%20-%5Cfrac%7Bl_2%7D%7B2%7D%5Cleft(%5Cfrac%7Bd%5Ctheta_2%7D%7Bdt%7D%5Cright)%5E2%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_2%7D%7D%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bl_2%7D%7B2%7D%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_2%7D%7Bdt%5E2%7D%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7B%5Ctheta_2%7D%7D%7D%5Cright%5D%20%20%2B%20%5Cvec%7BM_%7B1%7D%7D%20-%20%5Cvec%7BM_%7B12%7D%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%26%3D%20-%5Cfrac%7Bm_1gl_1%7D%7B2%7D%5Csin(%5Ctheta_1)%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%20-%20m_2l_1g%20%5Csin(%5Ctheta_1)%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%20%20-%20m_2l_1%5E2%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_1%7D%7Bdt%5E2%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%20%20%2B%20%5Cfrac%7Bm_2l_1l_2%7D%7B2%7D%5Cleft(%5Cfrac%7Bd%5Ctheta_2%7D%7Bdt%7D%5Cright)%5E2%20%5Csin(%5Ctheta_1-%5Ctheta_2)%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%20%20-%20%5Cfrac%7Bm_2l_1l_2%7D%7B2%7D%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_2%7D%7Bdt%5E2%7D%20%5Ccos(%5Ctheta_1-%5Ctheta_2)%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%20%20%2B%20M_1%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%20%20-%20M_%7B12%7D%5Chat%7B%5Cbf%7Bk%7D%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%5Cend%7Bsplit%7D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Derivative%20of%20angular%20momentum%20of%20the%20upper%20bar%20around%20O1%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%20l%7D%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7BH_%7BO1%7D%7D%7D%7Bdt%7D%20%26%3D%26%20I_%7Bzz%7D%5E%7BC1%7D%20%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_1%7D%7Bdt%5E2%7D%20%2B%20m_1%20%5Cvec%7Br_%7BC1%2FO1%7D%7D%20%5Ctimes%20%5Cvec%7Ba_%7BC1%7D%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%26%20I_%7Bzz%7D%5E%7BC1%7D%20%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_1%7D%7Bdt%5E2%7D%20%2B%20m_1%20%5Cfrac%7Bl_1%7D%7B2%7D%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_1%7D%7D%7D%20%5Ctimes%20%5Cleft%5B-%5Cfrac%7Bl_1%7D%7B2%7D%5Cleft(%5Cfrac%7Bd%5Ctheta_1%7D%7Bdt%7D%5Cright)%5E2%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7BR_1%7D%7D%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bl_1%7D%7B2%7D%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_1%7D%7Bdt%5E2%7D%20%5Chat%7B%5Cbf%7Be_%7B%5Ctheta_1%7D%7D%7D%5Cright%5D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7BH_%7BO1%7D%7D%7D%7Bdt%7D%20%3D%5Cleft(%20I_%7Bzz%7D%5E%7BC1%7D%20%20%2B%20m_1%20%5Cfrac%7Bl_1%5E2%7D%7B4%7D%5Cright)%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_1%7D%7Bdt%5E2%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20The%20equations%20of%20motion%0A%0A%20%20%20%20Finally%2C%20using%20the%20second%20Newton-Euler%20law%20for%20both%20bars%2C%20we%20can%20find%20the%20equation%20of%20motion%20of%20both%20angles%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%20l%7D%0A%20%20%20%20%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%7BH_%7BO1%7D%7D%7D%7Bdt%7D%20%26%3D%26%20%5Cvec%7BM_%7BO1%7D%7D%20%5Crightarrow%20%20%5Cleft(%20I_%7Bzz%7D%5E%7BC1%7D%20%2B%20m_1%20%5Cfrac%7Bl_1%5E2%7D%7B4%7D%5Cright)%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_1%7D%7Bdt%5E2%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%26%20-%5Cfrac%7Bm_1gl_1%7D%7B2%7D%5Csin(%5Ctheta_1)-%20m_2l_1g%20%5Csin(%5Ctheta_1)%20-%20m_2l_1%5E2%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_1%7D%7Bdt%5E2%7D%20%20%2B%20%5Cfrac%7Bm_2l_1l_2%7D%7B2%7D%5Cleft(%5Cfrac%7Bd%5Ctheta_2%7D%7Bdt%7D%5Cright)%5E2%20%5Csin(%5Ctheta_1-%5Ctheta_2)%20-%20%5Cfrac%7Bm_2l_1l_2%7D%7B2%7D%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_2%7D%7Bdt%5E2%7D%20%5Ccos%7B(%5Ctheta_1-%5Ctheta_2)%7D%20%2B%20M_1%20-%20M_%7B12%7D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%20l%7D%0A%20%20%20%20%5Cdfrac%7Bd%5Cvec%7BH_%7BO2%7D%7D%7D%7Bdt%7D%20%26%3D%26%20%5Cvec%7BM_%7BO2%7D%7D%20%5Crightarrow%20%5Cfrac%7Bm_2l_1l_2%7D%7B2%7D%5Ccos(%5Ctheta_1-%5Ctheta_2)%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_1%7D%7Bdt%5E2%7D%20%2B%20%5Cleft(I_%7Bzz%7D%5E%7BC2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bm_2l_2%5E2%7D%7B4%7D%20%5Cright)%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_2%7D%7Bdt%5E2%7D-%20%5Cfrac%7Bm_2l_1l_2%7D%7B2%7D%5Cleft(%5Cfrac%7Bd%5Ctheta_1%7D%7Bdt%7D%5Cright)%5E2%20%5Csin(%5Ctheta_1-%5Ctheta_2)%20%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%26%20-%5Cfrac%7Bm_2gl_2%7D%7B2%7D%5Csin(%5Ctheta_2)%20%2B%20M_%7B12%7D%0A%20%20%20%20%5Cend%7Barray%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Considering%20the%20moment%20of%20inertia%20of%20the%20bars%20as%20%24I_%7Bzz%7D%5E%7BC1%7D%3D%5Cfrac%7Bm_1l_1%5E2%7D%7B12%7D%24%20and%20%24I_%7Bzz%7D%5E%7BC2%7D%3D%5Cfrac%7Bm_2l_2%5E2%7D%7B12%7D%24%20the%20differential%20equations%20above%20are%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cleft(%5Cdfrac%7Bm_1l_1%5E2%7D%7B3%7D%20%2Bm_2l_1%5E2%5Cright)%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_1%7D%7Bdt%5E2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bm_2l_1l_2%7D%7B2%7D%20%5Ccos%7B(%5Ctheta_1-%5Ctheta_2)%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_2%7D%7Bdt%5E2%7D%7D%20%20%3D%20%20-%5Cfrac%7Bm_1gl_1%7D%7B2%7D%5Csin(%5Ctheta_1)-%20m_2l_1g%20%5Csin(%5Ctheta_1)%20%20%20%2B%20%5Cfrac%7Bm_2l_1l_2%7D%7B2%7D%5Cleft(%5Cfrac%7Bd%5Ctheta_2%7D%7Bdt%7D%5Cright)%5E2%20%5Csin(%5Ctheta_1-%5Ctheta_2)%20%20%2B%20M_1%20-%20M_%7B12%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cdfrac%7Bm_2l_1l_2%7D%7B2%7D%5Ccos(%5Ctheta_1-%5Ctheta_2)%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_1%7D%7Bdt%5E2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bm_2l_2%5E2%7D%7B3%7D%5Cfrac%7Bd%5E2%5Ctheta_2%7D%7Bdt%5E2%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7Bm_2gl_2%7D%7B2%7D%5Csin(%5Ctheta_2)%20%2B%20%5Cfrac%7Bm_2l_1l_2%7D%7B2%7D%5Cleft(%5Cfrac%7Bd%5Ctheta_1%7D%7Bdt%7D%5Cright)%5E2%20%5Csin(%5Ctheta_1-%5Ctheta_2)%2B%20M_%7B12%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20We%20could%20isolate%20the%20angular%20accelerations%20but%20this%20would%20lead%20to%20very%20long%20equations.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Exercise%205%20%E2%80%94%20Keep%20interaction%20torques%20paired.**%20A%20joint%20actuator%20applies%20%2B4%20N%20m%20to%20a%20distal%20link.%20What%20torque%20does%20it%20apply%20to%20the%20proximal%20link%2C%20and%20what%20is%20their%20sum%20for%20the%20combined%20system%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Solution%20to%20Exercise%205%0A%0A%20%20%20%20The%20proximal%20link%20receives%20%E2%88%924%20N%20m.%20The%20internal%20pair%20cancels%20in%20the%20combined-system%20moment%20balance.%20Each%20isolated-link%20equation%20must%20retain%20its%20own%20member%20of%20the%20pair.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Checkpoint%20questions%0A%0A%20%20%20%201.%20Why%20does%20a%20point-particle%20diagram%20omit%20orientation%3F%0A%20%20%20%202.%20When%20may%20hinge%20inertia%20replace%20center%20inertia%20without%20an%20extra%20acceleration%20term%3F%0A%20%20%20%203.%20What%20destabilizes%20an%20inverted%20pendulum%3F%0A%20%20%20%204.%20Does%20zero%20external%20torque%20imply%20zero%20angular%20velocity%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Checkpoint%20answers%0A%0A%20%20%20%201.%20A%20particle%20model%20has%20no%20rotational%20degree%20of%20freedom%20or%20distributed%20inertia.%0A%20%20%20%202.%20At%20an%20inertially%20fixed%20hinge%20(or%20when%20the%20additional%20term%20vanishes).%0A%20%20%20%203.%20Gravity%20produces%20a%20moment%20in%20the%20direction%20of%20a%20small%20displacement%20from%20upright.%0A%20%20%20%204.%20No%3B%20it%20implies%20constant%20angular%20momentum%20about%20an%20appropriate%20inertial%20point.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problems%0A%0A%20%20%20%201.%20Solve%20the%20problems%206%2C%207%20and%208%20from%20%5Bthis%20Notebook%5D(https%3A%2F%2Fmolab.marimo.io%2Fgithub%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fnotebooks%2Ffree_body_diagram.py).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Final%20answers%20to%20original%20Problems%0A%0A%20%20%20%201.%20For%20the%20referenced%20uniform-rod%20problem%206%3A%20%24%5Calpha_z%3D-15%24%20rad%2Fs%C2%B2%2C%20joint%20force%20%24(-50%2C10)%24%20N%20and%20joint%20couple%200.%20For%20standing-foot%20problem%207%3A%20ankle%20force%20%24(0%2C-579.18)%24%20N%20and%20moment%20%E2%88%9222.9908%20N%20m.%20For%20gait-foot%20problem%208%3A%20ankle%20force%20%24(-156.61%2C-752.9904)%24%20N%20and%20moment%20%E2%88%92128.4952%20N%20m.%20The%20signs%20use%20x%20right%2C%20y%20up%20and%20positive%20counterclockwise%20moments%2C%20as%20in%20%5BFree%20body%20diagram%5D(https%3A%2F%2Fmolab.marimo.io%2Fgithub%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fnotebooks%2Ffree_body_diagram.py).%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Go%20deeper%0A%0A%20%20%20%20-%20Read%20the%20chapters%2017%20and%2019%20of%20the%20%5BRuina%20and%20Rudra's%20book%5D(https%3A%2F%2Fruina.tam.cornell.edu%2FBook%2Findex.html).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Optional%20textbook%20investigations%0A%0A%20%20%20%20These%20original%20external%20assignments%20require%20the%20stated%20edition%20and%20its%20figures.%20They%20are%20retained%20as%20optional%20reading%3B%20the%20self-contained%20Problems%20above%20have%20answer%20panels.%0A%0A%20%20%20%202.%20Solve%20the%20problems%2017.2.9%2C%2019.3.26%2C%2019.3.29%20from%20Ruina%20and%20Pratap%20book.%0A%0A%20%20%20%203.%20Study%20the%20content%20and%20solve%20the%20exercises%20of%20the%20text%20%5BForces%20and%20Torques%20in%20Muscles%20and%20Joints%5D(https%3A%2F%2Fopenstax.org%2Fbooks%2Fcollege-physics-2e%2Fpages%2F9-6-forces-and-torques-in-muscles-and-joints)%20(or%20%5Bdownload%20here%20an%20off-line%20HTML%20copy%20of%20the%20content%20of%20that%20website%5D(https%3A%2F%2Fgithub.com%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Frefs%2Fforces-and-torques-in-muscles-and-joints-14.zip%3Fraw%3Dtrue)).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Video%20lectures%20on%20the%20Internet%0A%0A%20%20%20%20-%20%5BFree%20Body%20Diagram%20for%20Rigid%20Body%20Equilibrium%20(I)%5D(https%3A%2F%2Fwww.youtube.com%2Fwatch%3Fv%3Dgo4vsgnb9jU)%3B%0A%20%20%20%20-%20%5BFree%20Body%20Diagram%20for%20Rigid%20Body%20Equilibrium%20(II)%5D(https%3A%2F%2Fwww.youtube.com%2Fwatch%3Fv%3DQv2WoqJlIKQ)%3B%0A%20%20%20%20-%20%5BFree%20Body%20Diagram%20for%20Rigid%20Body%20Equilibrium%20(III)%5D(https%3A%2F%2Fwww.youtube.com%2Fwatch%3Fv%3DKnk068P-COg).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Additional%20verified%20lecture%0A%0A%20%20%20%20%5BMIT%20OpenCourseWare%5D(https%3A%2F%2Focw.mit.edu%2Fcourses%2F2-003sc-engineering-dynamics-fall-2011%2Fpages%2Ffree-body-diagrams-and-fictitious-forces%2F)%20%E2%80%94%20Free-body%20diagrams%3A%20practice%20selecting%20a%20body%20and%20frame%20before%20writing%20force%20and%20moment%20equations.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20References%0A%0A%20%20%20%20-%20Ruina%20A.%2C%20Rudra%20P.%20(2019)%20%5BIntroduction%20to%20Statics%20and%20Dynamics%5D(https%3A%2F%2Fruina.tam.cornell.edu%2FBook%2Findex.html).%20Oxford%20University%20Press.%0A%0A%20%20%20%20-%20Duarte%20M.%20(2017)%20%5BFree%20body%20diagram%5D(https%3A%2F%2Fmolab.marimo.io%2Fgithub%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fnotebooks%2Ffree_body_diagram.py).%0A%0A%20%20%20%20-%20Elias%2C%20L%20A%2C%20Watanabe%2C%20R%20N%2C%20Kohn%2C%20A%20F.(2014)%20%5BSpinal%20Mechanisms%20May%20Provide%20a%20Combination%20of%20Intermittent%20and%20Continuous%20Control%20of%20Human%20Posture%3A%20Predictions%20from%20a%20Biologically%20Based%20Neuromusculoskeletal%20Model.%5D(https%3A%2F%2Fdoi.org%2F10.1371%2Fjournal.pcbi.1003944)%20PLOS%20Computational%20Biology%20(Online).%0A%0A%20%20%20%20-%20Winter%20D.%20A.%2C%20(2009)%20Biomechanics%20and%20motor%20control%20of%20human%20movement.%20John%20Wiley%20and%20Sons.%0A%0A%20%20%20%20-%20Duarte%20M.%20(2017)%20%5BThe%20inverted%20pendulum%20model%20of%20the%20human%20standing%5D(https%3A%2F%2Fmolab.marimo.io%2Fgithub%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fnotebooks%2Fip_model.py).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A
3793989b7c4b30b0d05ac004440fe58a