%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%22marimo%3E%3D0.23.9%22%2C%20%22numpy%3E%3D2.0%22%2C%20%22matplotlib%3E%3D3.9%22%2C%20%22scipy%3E%3D1.14%22%2C%20%22seaborn%3E%3D0.13%22%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.25.2%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App()%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Kinetics%3A%20fundamental%20concepts%0A%0A%20%20%20%20%3E%20Marcos%20Duarte%2C%20Renato%20Naville%20Watanabe%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%3E%20%5BLaboratory%20of%20Biomechanics%20and%20Motor%20Control%5D(https%3A%2F%2Fbmclab.pesquisa.ufabc.edu.br%2F)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%3E%20Federal%20University%20of%20ABC%2C%20Brazil%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20How%20to%20use%20this%20guide%0A%0A%20%20%20%20Follow%20the%20distinction%20between%20force%20and%20impulse%2C%20then%20between%20work%2C%20energy%20and%20power.%20We%20will%20make%20the%20same%20connections%20for%20rotation.%20Use%20units%20and%20the%20choice%20of%20system%20to%20decide%20which%20conservation%20statement%20is%20justified.%0A%0A%20%20%20%20Try%20the%20distributed%20**Exercises**%20before%20opening%20their%20collapsed%20worked%20solutions.%20Then%20use%20the%20**Checkpoint%20questions**%20and%20attempt%20the%20**Problems**%20independently%3B%20their%20panels%20contain%20final%20answers%20only.%20Predict%20the%20effect%20of%20a%20parameter%20change%20before%20running%20it%2C%20and%20check%20units%20and%20limiting%20cases.%0A%0A%20%20%20%20**Opening%20challenge.**%20Two%20pushes%20give%20a%20cart%20the%20same%20impulse.%20Must%20they%20do%20the%20same%20work%3F%20Keep%20the%20cart%E2%80%99s%20initial%20motion%20in%20your%20answer.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20Kinetics%20is%20the%20branch%20of%20classical%20mechanics%20that%20is%20concerned%20with%20the%20relationship%20between%20the%20motion%20of%20bodies%20and%20its%20causes%2C%20namely%20forces%20and%20torques%20(%5BEncyclop%C3%A6dia%20Britannica%20Online%5D(https%3A%2F%2Fwww.britannica.com%2Fscience%2Fkinetics)).%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20Kinetics%2C%20as%20used%20in%20Biomechanics%2C%20also%20includes%20the%20study%20of%20statics%2C%20the%20study%20of%20equilibrium%20and%20its%20relation%20to%20forces%20and%20torques%20(one%20can%20treat%20equilibrium%20as%20a%20special%20case%20of%20motion%2C%20where%20the%20velocity%20is%20zero).%20This%20is%20different%20than%20the%20nowadays%20most%20common%20ramification%20of%20Mechanics%20in%20Statics%20and%20Dynamics%2C%20and%20Dynamics%20in%20Kinematics%20and%20Kinetics%20(%5BIntroduction%20to%20Biomechanics%5D(biomechanics.py%23how-mechanics-is-usually-divided)).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Python%20setup%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20numpy%20as%20np%0A%20%20%20%20import%20matplotlib.pyplot%20as%20plt%0A%20%20%20%20import%20seaborn%20as%20sns%0A%20%20%20%20%23%20'%25matplotlib%20inline'%20command%20supported%20automatically%20in%20marimo%0A%20%20%20%20sns.set_context('notebook'%2C%20font_scale%3D1.2)%0A%20%20%20%20return%20np%2C%20plt%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20The%20development%20of%20the%20laws%20of%20motion%20of%20bodies%0A%0A%20%20%20%20%22The%20theoretical%20development%20of%20the%20laws%20of%20motion%20of%20bodies%20is%20a%20problem%20of%20such%20interest%20and%20importance%20that%20it%20has%20engaged%20the%20attention%20of%20all%20the%20most%20eminent%20mathematicians%20since%20the%20invention%20of%20dynamics%20as%20a%20mathematical%20science%20by%20Galileo%2C%20and%20especially%20since%20the%20wonderful%20extension%20which%20was%20given%20to%20that%20science%20by%20Newton.%22%0A%0A%20%20%20%20%26%238212%3B%20Hamilton%2C%201834%20(apud%20Taylor%2C%202005).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Newton's%20laws%20of%20motion%0A%0A%20%20%20%20The%20Newton's%20laws%20of%20motion%20describe%20the%20relationship%20between%20the%20forces%20acting%20on%20a%20body%20and%20the%20resultant%20linear%20motion%20due%20to%20those%20forces%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20**First%20law**%3A%20An%20object%20will%20remain%20at%20rest%20or%20in%20uniform%20motion%20in%20a%20straight%20line%20unless%20an%20external%20force%20acts%20on%20the%20body.%0A%20%20%20%20-%20**Second%20law**%3A%20The%20acceleration%20of%20an%20object%20is%20directly%20proportional%20to%20the%20net%20force%20acting%20on%20the%20object%20and%20inversely%20proportional%20to%20the%20mass%20of%20the%20object%3A%20%24%5Cvec%7BF%7D%20%3D%20m%20%5Cvec%7Ba%7D%24.%0A%20%20%20%20-%20**Third%20law**%3A%20Whenever%20an%20object%20exerts%20a%20force%20%24%5Cvec%7BF%7D_1%24%20(action)%20on%20a%20second%20object%2C%20this%20second%20object%20simultaneously%20exerts%20a%20force%20%24%5Cvec%7BF%7D_2%24%20on%20the%20first%20object%20with%20the%20same%20magnitude%20but%20opposite%20direction%20(reaction)%3A%20%24%5Cvec%7BF%7D_2%20%3D%20%E2%88%92%5Cvec%7BF%7D_1.%24%0A%0A%20%20%20%20These%20three%20statements%20are%20astonishing%20in%20their%20simplicity%20and%20how%20much%20of%20knowledge%20they%20empower.%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20Isaac%20Newton%20was%20born%20in%201943%20and%20his%20works%20that%20resulted%20in%20these%20equations%20and%20other%20discoveries%20were%20mostly%20done%20in%20the%20years%20of%201666%20and%201667%2C%20when%20he%20was%20only%2024%20years%20old!%0A%0A%20%20%20%20Here%20are%20these%20three%20laws%20in%20Newton's%20own%20words%20(from%20page%2083%20of%20Book%20I%20in%20the%20first%20American%20edition%20of%20the%20%5B*Philosophi%C3%A6%20Naturalis%20Principia%20Mathematica*%5D(http%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fnewtonspmathema00newtrich)%3A%0A%0A%20%20%20%20%3E%20LAW%20I.%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%3E%20*Every%20body%20perseveres%20in%20its%20state%20of%20rest%2C%20or%20of%20uniform%20motion%20in%20a%20right%20line%2C%20unless%20it%20is%20compelled%20to%20change%20that%20state%20by%20forces%20impressed%20thereon.*%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%3E%20LAW%20II.%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%3E%20*The%20alteration%20of%20motion%20is%20ever%20proportional%20to%20the%20motive%20force%20impressed%3B%20and%20is%20made%20in%20the%20direction%20of%20the%20right%20line%20in%20which%20that%20force%20is%20impressed.*%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%3E%20LAW%20III.%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%3E%20*To%20every%20action%20there%20is%20always%20opposed%20an%20equal%20reaction%3A%20or%20the%20mutual%20actions%20of%20two%20bodies%20upon%20each%20other%20are%20always%20equal%2C%20and%20directed%20to%20contrary%20parts.*%0A%0A%20%20%20%20And%20Newton%20carefully%20defined%20mass%2C%20motion%2C%20and%20force%20in%20the%20first%20page%20of%20the%20book%20I%20(page%2073%20of%20the%20%5B*Principia*%5D(http%3A%2F%2Farchive.org%2Fdetails%2Fnewtonspmathema00newtrich))%3A%0A%0A%20%20%20%20%3E%20DEFINITION%20I.%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%3E%20*The%20quantity%20of%20matter%20is%20the%20measure%20of%20the%20same%2C%20arising%20from%20its%20density%20and%20bulk%20conjunctly.*%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%3E%20...It%20is%20this%20quantity%20that%20I%20mean%20hereafter%20everywhere%20under%20the%20name%20of%20body%20or%20mass.%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%3E%20DEFINITION%20II.%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%3E%20*The%20quantity%20of%20motion%20is%20the%20measure%20of%20the%20same%2C%20arising%20from%20the%20velocity%20and%20quantity%20of%20matter%20conjunctly.*%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%3E%20The%20motion%20of%20the%20whole%20is%20the%20sum%20of%20the%20motions%20of%20all%20the%20parts%3B%20and%20therefore%20in%20a%20body%20double%20in%20quantity%2C%20with%20equal%20velocity%2C%20the%20motion%20is%20double%3B%20with%20twice%20the%20velocity%2C%20it%20is%20quadruple.%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%3E%20DEFINITION%20IV.%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%3E%20*An%20impressed%20force%20is%20an%20action%20exerted%20upon%20a%20body%2C%20in%20order%20to%20change%20its%20state%2C%20either%20of%20rest%2C%20or%20of%20moving%20uniformly%20forward%20in%20a%20right%20line.*%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Linear%20momentum%0A%0A%20%20%20%20From%20Definition%20II%20above%2C%20we%20can%20see%20that%20Newton%20defined%20as%20motion%20what%20we%20know%20today%20as%20linear%20momentum%2C%20the%20product%20between%20mass%20and%20velocity%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cvec%7Bp%7D%20%3D%20m%5Cvec%7Bv%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20So%2C%20in%20his%20second%20law%2C%20*alteration%20of%20motion%20is%20ever%20proportional%20to%20the%20motive%20force%20impressed*%2C%20if%20we%20understand%20that%20it%20was%20implicit%20that%20the%20*alteration*%20occurs%20in%20a%20certain%20time%20(or%20we%20can%20understand%20*force%20impressed*%20as%20force%20during%20a%20certain%20%20time)%2C%20Newton%20actually%20stated%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cvec%7BF%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5CDelta%5Cvec%7Bp%7D%7D%7B%5CDelta%20t%7D%20%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%20%5Ctext%7Bor%7D%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%5C%3B%20%5Cvec%7BF%7D%5CDelta%20t%20%3D%20%5CDelta%5Cvec%7Bp%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20What%20is%20equivalent%20to%20%24%5Cvec%7BF%7D%20%3D%20m%5Cvec%7Ba%7D%20%5C%3B%24%20if%20mass%20is%20constant.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Impulse%0A%0A%20%20%20%20The%20mechanical%20linear%20impulse%20is%20a%20related%20concept%20and%20it%20can%20be%20derived%20from%20the%20second%20law%20of%20motion%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cvec%7BImp%7D%20%3D%20%5Cvec%7BF%7D%5CDelta%20t%20%3D%20m%5CDelta%5Cvec%7Bv%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20And%20if%20the%20force%20varies%20with%20time%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cvec%7BImp%7D%20%3D%20%5Csum_t%20%5Cvec%7BF%7D(t)%5CDelta%20t%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20or%20using%20%5Binfinitesimal%20calculus%5D(https%3A%2F%2Fen.wikipedia.org%2Fwiki%2FInfinitesimal_calculus)%20(that%20it%20was%20independently%20developed%20by%20Newton%20himself%20and%20Leibniz)%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cvec%7BImp%7D%20%3D%20%5Cint_t%20%5Cvec%7BF%7D(t)dt%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20concept%20of%20impulse%20due%20to%20a%20force%20that%20varies%20with%20time%20is%20often%20applied%20in%20biomechanics%20because%20it%20is%20common%20to%20measure%20forces%20(for%20example%2C%20with%20force%20plates)%20during%20human%20movement.%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20When%20such%20varying%20force%20is%20measured%2C%20the%20impulse%20can%20be%20calculated%20as%20the%20area%20under%20the%20force-versus-time%20curve%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(np%2C%20plt)%3A%0A%20%20%20%20%23%20simulate%20some%20data%3A%0A%20%20%20%20t%20%3D%20np.arange(0%2C%201.01%2C%200.01)%0A%20%20%20%20f%20%3D%201000*(-t**3%2Bt**2)%0A%20%20%20%20%23%20plot%3A%0A%20%20%20%20plt.rc('axes'%2C%20%20labelsize%3D16)%20%0A%20%20%20%20plt.rc('xtick'%2C%20labelsize%3D14)%20%0A%20%20%20%20plt.rc('ytick'%2C%20labelsize%3D14)%0A%20%20%20%20hfig%2C%20hax%20%3D%20plt.subplots(1%2C1%2C%20figsize%3D(8%2C5))%0A%20%20%20%20hax.plot(t%2C%20f%2C%20linewidth%3D3)%0A%20%20%20%20hax.set_xlim(-.1%2C%201.1)%0A%20%20%20%20hax.grid()%0A%20%20%20%20hax.set_ylabel('Force%20%5BN%5D')%0A%20%20%20%20hax.set_xlabel('Time%20%5Bs%5D')%0A%20%20%20%20plt.fill(t%2C%20f%2C%20'b'%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20%23%20area%20(impulse)%20with%20the%20trapezoidal%20numerical%20integration%20method%3A%0A%20%20%20%20from%20scipy.integrate%20import%20trapezoid%0A%20%20%20%20imp%20%3D%20trapezoid(f%2C%20t)%0A%20%20%20%20%23%20plot%20a%20rectangle%20for%20the%20mean%20impulse%20value%3A%0A%20%20%20%20plt.fill(np.array(%5Bt%5B0%5D%2C%20t%5B0%5D%2C%20t%5B-1%5D%2C%20t%5B-1%5D%5D)%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20np.array(%5B0%2C%20imp%2C%20imp%2C%200%5D%2F(t%5B-1%5D-t%5B0%5D))%2C%20'r'%2C%20alpha%3D0.3)%0A%20%20%20%20s%20%3D%20r'%24i%3DF%5CDelta%20t%20%3D%20%25.1f%20Ns%24'%25imp%20%0A%20%20%20%20plt.text(.4%2C%2040%2C%20s%2C%20fontsize%3D18%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20bbox%3Ddict(facecolor%3D'white'%2C%20edgecolor%3D'white'))%3B%0A%20%20%20%20hax%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Exercise%201%20%E2%80%94%20Read%20impulse.**%20A%20constant%20resultant%20force%20of%2020%20N%20acts%20for%200.15%20s%20on%20a%202%20kg%20object.%20Find%20the%20impulse%20and%20change%20in%20velocity.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Solution%20to%20Exercise%201%0A%0A%20%20%20%20%24J%3DF%5CDelta%20t%3D3%24%20N%20s%2C%20and%20%24%5CDelta%20v%3DJ%2Fm%3D1.5%24%20m%2Fs%20along%20the%20force.%20This%20gives%20the%20velocity%20change%2C%20not%20the%20final%20velocity%20unless%20the%20initial%20velocity%20is%20known.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Force%0A%0A%20%20%20%20There%20are%20many%20manifestations%20of%20force%20we%20may%20experience%20during%20movement%3A%20gravitational%2C%20friction%2C%20ground%20reaction%20force%2C%20muscle%20force%2C%20buoyancy%2C%20elastic%20force%2C%20and%20other%20less%20visible%20such%20as%20electromagnetic%2C%20nuclear%2C%20etc.%20But%20in%20reality%2C%20all%20these%20different%20forces%20can%20be%20grouped%20in%20only%20four%20fundamental%20forces%3A%0A%0A%20%20%20%20-%20Strong%20force%3A%20hold%20the%20nucleus%20of%20an%20atom%20together.%20Range%20of%20action%20is%20%2410%5E%7B-15%7D%24%20m.%0A%20%20%20%20-%20Weak%20force%3A%20force%20acting%20between%20particles%20of%20the%20nucleus.%20Range%20of%20action%20is%20%2410%5E%7B-18%7D%24%20m.%0A%20%20%20%20-%20Electromagnetic%20force%3A%20forces%20between%20electrical%20charges%20and%20the%20magnetic%20forces.%0A%20%20%20%20-%20Gravity%20force%3A%20forces%20between%20masses%3B%20is%20the%20weakest%20of%20the%20four%20fundamental%20forces.%0A%0A%20%20%20%20In%20mechanics%2C%20forces%20can%20be%20classified%20as%20either%20contact%20or%20body%20forces.%20The%20contact%20force%20acts%20at%20the%20point%20of%20contact%20between%20two%20bodies.%20The%20body%20force%20acts%20on%20the%20entire%20body%20with%20no%20contact%20(e.g.%2C%20gravity%20and%20electromagnetic%20forces).%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20In%20biomechanics%2C%20another%20useful%20classification%20is%20to%20divide%20the%20forces%20in%20either%20external%20or%20internal%20in%20relation%20to%20the%20human%20body.%20External%20forces%20result%20from%20interactions%20with%20an%20external%20body%20or%20environment%20(e.g.%2C%20gravity%20and%20ground%20reaction%20forces).%20Internal%20forces%20result%20from%20interactions%20inside%20the%20body%20(e.g.%2C%20the%20forces%20between%20bones).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Work%0A%0A%20%20%20%20The%20mechanical%20work%20of%20a%20force%20done%20on%20a%20body%20is%20the%20product%20between%20the%20component%20of%20the%20force%20in%20the%20direction%20of%20the%20resultant%20motion%20and%20the%20displacement%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20W%20%3D%20%5Cvec%7BF%7D%20%5Ccdot%20%5CDelta%5Cvec%7Bx%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Where%20the%20symbol%20%24%5Ccdot%24%20stands%20for%20the%20%5Bscalar%20product%5D(https%3A%2F%2Fmolab.marimo.io%2Fgithub%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fnotebooks%2Fscalar_vector.py)%20mathematical%20function.%0A%0A%20%20%20%20Mechanical%20work%20can%20also%20be%20understood%20as%20the%20amount%20of%20mechanical%20energy%20transferred%20into%20or%20out%20of%20a%20system.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Exercise%202%20%E2%80%94%20Keep%20force%20and%20displacement%20aligned.**%20A%2010%20N%20force%20makes%2060%C2%B0%20with%20a%20displacement%20of%202%20m.%20Find%20its%20work.%20What%20if%20the%20force%20is%20perpendicular%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Solution%20to%20Exercise%202%0A%0A%20%20%20%20%24W%3DFd%5Ccos60%5E%5Ccirc%3D10%24%20J.%20A%20perpendicular%20force%20does%20zero%20work%20at%20that%20instant%2C%20even%20though%20it%20can%20change%20the%20direction%20of%20velocity.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Mechanical%20energy%0A%0A%20%20%20%20Mechanical%20energy%20is%20the%20sum%20of%20kinetic%20and%20potential%20energies.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Kinetic%20energy%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20E_k%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dmv%5E2%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20linear%20momentum%20and%20the%20kinetic%20energy%20are%20related%20by%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cvec%7Bp%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20E_k%7D%7B%5Cpartial%5Cvec%7Bv%7D%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Potential%20energy%0A%0A%20%20%20%20The%20potential%20energy%20due%20to%20the%20gravitational%20force%20at%20the%20Earth's%20surface%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20E_p%20%3D%20mgh%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20potential%20energy%20stored%20in%20a%20spring%20is%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20E_p%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DKx%5E2%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Power%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20P%20%3D%20%5Cfrac%7B%5CDelta%20E%7D%7B%5CDelta%20t%7D%20%5Cquad%20%5Ctext%7Band%7D%20%5Cquad%20P%20%3D%20%5Cvec%7BF%7D%20%5Ccdot%20%5Cvec%7Bv%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Exercise%203%20%E2%80%94%20Interpret%20power.**%20A%2030%20N%20force%20acts%20in%20the%20direction%20of%20a%20point%20moving%20at%200.4%20m%2Fs.%20Find%20its%20power.%20What%20would%20a%20negative%20value%20mean%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Solution%20to%20Exercise%203%0A%0A%20%20%20%20%24P%3D%5Cmathbf%20F%5Ccdot%5Cmathbf%20v%3D12%24%20W.%20Negative%20power%20means%20that%20this%20force%20removes%20mechanical%20energy%20from%20the%20chosen%20system%3B%20it%20is%20not%20a%20negative%20force%20magnitude.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Angular%20momentum%0A%0A%20%20%20%20In%20analogy%20to%20the%20linear%20momentum%2C%20the%20angular%20momentum%20is%20the%20quantity%20of%20movement%20of%20a%20particle%20rotating%20around%20an%20axis%20at%20a%20distance%20%24%5Cvec%7Br%7D%24%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cvec%7BL%7D%20%3D%20%5Cvec%7Br%7D%20%5Ctimes%20%5Cvec%7Bp%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20For%20a%20particle%20rotating%20around%20an%20axis%2C%20the%20angular%20momentum%20can%20be%20expressed%20as%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cvec%7BL%7D%20%3D%20I%20%5Cvec%7B%5Comega%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Where%20%24I%24%20is%20the%20rotational%20inertia%20or%20moment%20of%20inertia%20of%20the%20particle%20around%20the%20axis.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Torque%20(moment%20of%20force)%0A%0A%20%20%20%20In%20analogy%20to%20the%20second%20Newton's%20law%20for%20the%20linear%20case%2C%20torque%20or%20moment%20of%20force%20(or%20simply%20moment)%20is%20the%20time%20derivative%20of%20angular%20momentum%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cvec%7BM%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7BL%7D%7D%7Bdt%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D(%5Cvec%7Br%7D%20%5Ctimes%20%5Cvec%7Bp%7D)%20%3D%20%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7Br%7D%7D%7Bdt%7D%20%5Ctimes%20%5Cvec%7Bp%7D%20%2B%20%5Cvec%7Br%7D%20%5Ctimes%20%5Cfrac%7Bd%5Cvec%7Bp%7D%7D%7Bdt%7D%20%3D%200%20%2B%20%5Cvec%7Br%7D%20%5Ctimes%20%5Cvec%7BF%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cvec%7BM%7D%20%3D%20%5Cvec%7Br%7D%20%5Ctimes%20%5Cvec%7BF%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cvec%7BM%7D%20%3D%20(r_x%5C%3A%5Cmathbf%7B%5Chat%7Bi%7D%7D%2Br_y%5C%3A%5Cmathbf%7B%5Chat%7Bj%7D%7D%2Br_z%5C%3A%5Cmathbf%7B%5Chat%7Bk%7D%7D)%20%5Ctimes%20%20(F_x%5C%3A%5Cmathbf%7B%5Chat%7Bi%7D%7D%2BF_y%5C%3A%5Cmathbf%7B%5Chat%7Bj%7D%7D%2BF_z%5C%3A%5Cmathbf%7B%5Chat%7Bk%7D%7D)%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Where%20the%20symbol%20%24%5Ctimes%24%20stands%20for%20the%20%5Bcross%20product%5D(https%3A%2F%2Fmolab.marimo.io%2Fgithub%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fnotebooks%2Fscalar_vector.py)%20mathematical%20function.%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20The%20moment%20of%20force%20can%20be%20calculated%20as%20the%20determinant%20of%20the%20following%20matrix%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cvec%7BM%7D%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%5Cmathbf%7B%5Chat%7Bi%7D%7D%20%26%20%5Cmathbf%7B%5Chat%7Bj%7D%7D%20%26%20%5Cmathbf%7B%5Chat%7Bk%7D%7D%20%5C%5C%0A%20%20%20%20r_x%20%26%20r_y%20%26%20r_z%20%5C%5C%0A%20%20%20%20F_x%20%26%20F_y%20%26%20F_z%0A%20%20%20%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cvec%7BM%7D%20%3D%20(r_yF_z-r_zF_y)%5Cmathbf%7B%5Chat%7Bi%7D%7D%2B(r_zF_x-r_xF_z)%5Cmathbf%7B%5Chat%7Bj%7D%7D%2B(r_xF_y-r_yF_x)%5Cmathbf%7B%5Chat%7Bk%7D%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20moment%20of%20force%20can%20also%20be%20calculated%20by%20the%20geometric%20equivalent%20formula%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Cvec%7BM%7D%20%3D%20%5Cvec%7Br%7D%20%5Ctimes%20%5Cvec%7BF%7D%20%3D%20%7C%7C%5Cvec%7Br%7D%7C%7C%5C%3A%7C%7C%5Cvec%7BF%7D%7C%7C%5C%3Asin(%5Ctheta)%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Where%20%24%5Ctheta%24%20is%20the%20angle%20between%20the%20vectors%20%24%5Cvec%7Br%7D%24%20and%20%24%5Cvec%7BF%7D%24.%0A%0A%20%20%20%20The%20animation%20below%20(from%20%5BWikipedia%5D(https%3A%2F%2Fen.wikipedia.org%2Fwiki%2FFile%3ATorque_animation.gif))%20illustrates%20the%20relationship%20between%20force%20(%24%5Cvec%7BF%7D%24)%2C%20torque%20(%24%5Ctau%24)%2C%20and%20momentum%20vectors%20(%24%5Cmathbf%7Bp%7D%24%20and%20%24%5Cvec%7BL%7D%24)%3A%0A%0A%20%20%20%20%3Cfigure%20aria-describedby%3D%22figure-caption-1%22%3E%3Cimg%20src%3D%22https%3A%2F%2Fupload.wikimedia.org%2Fwikipedia%2Fcommons%2F0%2F09%2FTorque_animation.gif%22%20alt%3D%22Torque%20animation%22%20width%3D%22300%22%2F%3E%3C%2Ffigure%3E%0A%0A%20%20%20%20%3Cspan%20id%3D%22figure-caption-1%22%20class%3D%22figure-caption%22%20style%3D%22display%3Ablock%3Btext-align%3Acenter%3Bfont-style%3Aitalic%22%3EFigure.%20Relationship%20between%20force%20(%24%5Cmathbf%7BF%7D%24)%2C%20torque%20(%24%5Ctau%24)%2C%20and%20momentum%20vectors%20(%24%5Cmathbf%7Bp%7D%24%20and%20%24%5Cmathbf%7BL%7D%24)%20(from%20%5BWikipedia%5D(https%3A%2F%2Fen.wikipedia.org%2Fwiki%2FFile%3ATorque_animation.gif)).%3C%2Fspan%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Mechanical%20energy%20for%20angular%20motion%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Kinetic%20energy%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20E_k%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7DI%5Comega%5E2%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Work%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20W%20%3D%20%5Cvec%7BM%7D%20%5Ccdot%20%5CDelta%5Cvec%7B%5Ctheta%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Power%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20P%20%3D%20%5Cfrac%7B%5CDelta%20E%7D%7B%5CDelta%20t%7D%20%5Cquad%20%5Ctext%7Band%7D%20%5Cquad%20P%20%3D%20%5Cvec%7BM%7D%20%5Ccdot%20%5Cvec%7B%5Comega%7D%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Exercise%204%20%E2%80%94%20Read%20angular%20impulse.**%20A%20net%20torque%20of%202%20N%20m%20acts%20for%200.5%20s%20about%20a%20fixed%20axis%20with%20inertia%200.25%20kg%20m%C2%B2.%20Find%20the%20change%20in%20angular%20velocity.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Solution%20to%20Exercise%204%0A%0A%20%20%20%20Angular%20impulse%20is%201%20N%20m%20s%20and%20equals%20%24I%5CDelta%5Comega%24.%20Thus%20%24%5CDelta%5Comega%3D4%24%20rad%2Fs.%20This%20is%20the%20rotational%20counterpart%20of%20linear%20impulse%E2%80%93momentum.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Principles%20of%20conservation%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Principle%20of%20conservation%20of%20linear%20momentum%0A%0A%20%20%20%20%3E%20*In%20a%20closed%20system%20with%20no%20external%20forces%20acting%20upon%20it%2C%20the%20total%20linear%20momentum%20of%20this%20system%20is%20constant.*%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Principle%20of%20conservation%20of%20angular%20momentum%0A%0A%20%20%20%20%3E%20*In%20a%20closed%20system%20with%20no%20external%20forces%20acting%20upon%20it%2C%20the%20total%20angular%20momentum%20of%20this%20system%20is%20constant.*%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Principle%20of%20conservation%20of%20mechanical%20energy%0A%0A%20%20%20%20%3E%20*In%20a%20closed%20system%20with%20no%20external%20forces%20acting%20upon%20it%2C%20the%20mechanical%20energy%20of%20this%20system%20is%20constant%20if%20only%20conservative%20forces%20act%20in%20this%20system.*%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%23%20Conservative%20forces%0A%0A%20%20%20%20A%20force%20is%20said%20to%20be%20conservative%20if%20this%20force%20produces%20the%20same%20work%20regardless%20of%20its%20trajectory%20between%20two%20points%2C%20if%20not%20the%20force%20is%20said%20to%20be%20non-conservative.%20Mathematically%2C%20the%20force%20%24%5Cvec%7BF%7D%24%20is%20conservative%20if%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Coint%20%5Cvec%7BF%7D%20%5Ccdot%20d%5Cvec%7Bs%7D%20%3D%200%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20gravitational%20force%20and%20the%20elastic%20force%20of%20an%20ideal%20spring%20are%20examples%20of%20conservative%20forces%20but%20friction%20force%20is%20not%20conservative.%20The%20forces%20generated%20by%20our%20muscles%20are%20also%20not%20conservative.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20-%20Read%20chapter%200%2C%20What%20is%20mechanics%2C%20from%20Ruina%20and%20Rudra's%20book.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20(mo%2C)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Checkpoint%20questions%0A%0A%20%20%20%201.%20Which%20units%20distinguish%20impulse%2C%20work%20and%20power%3F%0A%20%20%20%202.%20Can%20a%20force%20change%20momentum%20without%20doing%20work%3F%0A%20%20%20%203.%20What%20must%20vanish%20for%20linear%20momentum%20of%20a%20system%20to%20be%20conserved%3F%0A%20%20%20%204.%20For%20equal%20impulses%20and%20equal%20masses%2C%20does%20the%20initial%20velocity%20matter%20to%20the%20work%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Checkpoint%20answers%0A%0A%20%20%20%201.%20N%20s%2C%20J%20and%20W%2C%20respectively.%0A%20%20%20%202.%20Yes%2C%20for%20example%20an%20ideal%20centripetal%20force.%0A%20%20%20%203.%20The%20net%20external%20impulse%20over%20the%20interval%20(or%20net%20external%20force%20at%20every%20instant%20for%20continuous%20conservation).%0A%20%20%20%204.%20Yes%3A%20%24%5CDelta%20K%3Dv_0J%2BJ%5E2%2F(2m)%24%20in%20one%20dimension.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problems%0A%0A%20%20%20%201.%20A%204%20kg%20cart%20starts%20from%20rest%20and%20receives%20a%206%20N%20s%20impulse.%20Find%20its%20final%20velocity%20and%20kinetic%20energy.%0A%0A%20%20%20%202.%20A%20rotor%20with%20inertia%200.2%20kg%20m%C2%B2%20slows%20from%2010%20to%204%20rad%2Fs%20in%203%20s%20under%20a%20constant%20net%20torque.%20Find%20the%20torque%20and%20work.%0A%0A%20%20%20%203.%20An%20ideal%20pendulum%20has%20no%20air%20drag%20and%20a%20fixed%20frictionless%20pivot.%20Which%20of%20its%20mechanical%20energy%2C%20linear%20momentum%20and%20angular%20momentum%20about%20the%20pivot%20are%20conserved%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Final%20answers%20to%20Problems%0A%0A%20%20%20%201.%201.5%20m%2Fs%3B%204.5%20J.%0A%0A%20%20%20%202.%20%E2%88%920.4%20N%20m%3B%20%E2%88%928.4%20J.%0A%0A%20%20%20%203.%20Mechanical%20energy%20only%2C%20in%20general%3B%20gravity%20supplies%20external%20force%20and%20a%20generally%20nonzero%20pivot%20moment.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Go%20deeper%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Video%20lectures%20on%20the%20Internet%0A%0A%20%20%20%20-%20MIT%20OpenCourseWare%3A%20%5BHistory%20of%20Dynamics%3B%20Motion%20in%20Moving%20Reference%20Frames%5D(https%3A%2F%2Fyoutu.be%2FGUvoVvXwoOQ)%0A%20%20%20%20-%20Fisica%20Universit%C3%A1ria%3A%20%5BO%20que%20%C3%A9%20a%20Mec%C3%A2nica%5D(https%3A%2F%2Fyoutu.be%2FT10lXTek_JE)%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Additional%20verified%20lecture%0A%0A%20%20%20%20%5BMIT%20OpenCourseWare%5D(https%3A%2F%2Focw.mit.edu%2Fcourses%2F2-003sc-engineering-dynamics-fall-2011%2Fpages%2Ffree-body-diagrams-and-fictitious-forces%2F)%20%E2%80%94%20Free-body%20diagrams%3A%20practice%20selecting%20a%20body%20and%20frame%20before%20writing%20force%20and%20moment%20equations.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20References%0A%0A%20%20%20%20-%20Hibbeler%20(2010)%20Engineering%20Mechanics%3A%20Dynamics.%2012th%20edition.%20(Hibbeler%20(2011)%20Din%C3%A2mica%3A%20Mec%C3%A2nica%20para%20Engenharia.%2012a%20edi%C3%A7%C3%A3o).%0A%0A%20%20%20%20-%20Ruina%20A%2C%20Rudra%20P%20(2019)%20%5BIntroduction%20to%20Statics%20and%20Dynamics%5D(https%3A%2F%2Fruina.tam.cornell.edu%2FBook%2Findex.html).%20Oxford%20University%20Press.%0A%0A%20%20%20%20-%20Taylor%20JR%20(2005)%20%5BClassical%20Mechanics%5D(https%3A%2F%2Fbooks.google.com.br%2Fbooks%3Fid%3DP1kCtNr-pJsC).%20University%20Science%20Books.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A
36fe0d38ae2cfc52d6ff547a3c2ec317