trigonometry basics

%23%20%2F%2F%2F%20script%0A%23%20requires-python%20%3D%20%22%3E%3D3.11%22%0A%23%20dependencies%20%3D%20%5B%22marimo%3E%3D0.23.9%22%5D%0A%23%20%2F%2F%2F%0A%0Aimport%20marimo%0A%0A__generated_with%20%3D%20%220.25.2%22%0Aapp%20%3D%20marimo.App(width%3D%22medium%22)%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20Basic%20trigonometry%0A%0A%20%20%20%20%3E%20Marcos%20Duarte%2C%20Renato%20Naville%20Watanabe%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%3E%20%5BLaboratory%20of%20Biomechanics%20and%20Motor%20Control%5D(https%3A%2F%2Fbmclab.pesquisa.ufabc.edu.br%2F)%3Cbr%3E%0A%20%20%20%20%3E%20Federal%20University%20of%20ABC%2C%20Brazil%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20How%20to%20use%20this%20guide%0A%0A%20%20%20%20Imagine%20looking%20at%20a%20straight%20forearm%20from%20the%20side.%20You%20know%20its%20length%0A%20%20%20%20and%20its%20angle%20above%20the%20horizontal.%20How%20far%20is%20the%20hand%20in%20front%20of%20the%0A%20%20%20%20elbow%2C%20and%20how%20far%20above%20it%3F%20Trigonometry%20connects%20those%20measurements.%0A%0A%20%20%20%20We%20will%20start%20with%20the%20ratios%20of%20a%20right%20triangle%2C%20connect%20degrees%20to%0A%20%20%20%20radians%2C%20and%20use%20a%20few%20identities%20to%20check%20our%20calculations.%20You%20need%0A%20%20%20%20only%20ratios%2C%20square%20roots%2C%20and%20elementary%20algebra.%0A%0A%20%20%20%20Work%20through%20the%20six%20**Exercises**%20on%20a%20scratchpad%20before%20opening%20their%0A%20%20%20%20solutions.%20Each%20solution%20is%20collapsed%20just%20below%20its%20question.%20When%20you%0A%20%20%20%20reach%20the%20angle%20slider%2C%20predict%20what%20will%20change%20before%20moving%20it.%0A%0A%20%20%20%20At%20the%20end%2C%20use%20the%20**Checkpoint%20questions**%20to%20check%20your%20understanding%2C%0A%20%20%20%20then%20try%20the%20**Problems**%20independently.%20Problems%20have%20collapsed%20final%0A%20%20%20%20answers%2C%20without%20derivations.%20**Go%20deeper**%20and%20**Video%20lectures%20on%20the%0A%20%20%20%20Internet**%20offer%20optional%20follow-up%20material%3B%20**References**%20lists%20the%0A%20%20%20%20sources%20you%20can%20consult.%0A%0A%20%20%20%20You%20can%20use%20this%20notebook%20locally%2C%20in%20%5Bmarimo.app%5D(https%3A%2F%2Fmarimo.app%2F)%2C%0A%20%20%20%20or%20in%20%5Bmolab%5D(https%3A%2F%2Fmolab.marimo.io%2Fnotebooks).%20The%20examples%20and%20diagrams%0A%20%20%20%20are%20contained%20in%20this%20file%3B%20there%20are%20no%20data%20files%20to%20download.%20In%20an%0A%20%20%20%20editor%2C%20run%20the%20cells%20to%20activate%20the%20slider%20and%20numerical%20checks.%0A%0A%20%20%20%20**Challenge%200.**%20Sketch%20a%20forearm%20at%20%2430%5E%5Ccirc%24%20above%20the%20horizontal%2C%0A%20%20%20%20then%20at%20%2460%5E%5Ccirc%24%2C%20keeping%20its%20length%20fixed.%20Predict%20how%20the%20horizontal%0A%20%20%20%20and%20vertical%20distances%20from%20elbow%20to%20hand%20change.%20Keep%20your%20sketch%3B%0A%20%20%20%20we%20will%20return%20to%20it%20in%20the%20checkpoint%20questions.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Python%20setup%0A%0A%20%20%20%20Python's%20standard%20%60math%60%20module%20supplies%20the%20trigonometric%20functions.%0A%20%20%20%20Marimo%20displays%20the%20text%2C%20diagrams%2C%20slider%2C%20and%20expandable%20answers.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_()%3A%0A%20%20%20%20import%20math%0A%0A%20%20%20%20import%20marimo%20as%20mo%0A%0A%20%20%20%20return%20math%2C%20mo%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Same%20angle%2C%20same%20ratios%0A%0A%20%20%20%20Start%20with%20a%20right%20triangle%3A%20one%20angle%20is%20%2490%5E%5Ccirc%24%20(%24%5Cpi%2F2%24%20radians).%0A%20%20%20%20Choose%20one%20of%20its%20acute%20angles%20and%20call%20it%20%24%5Ctheta%24.%20The%20**hypotenuse**%0A%20%20%20%20is%20opposite%20the%20right%20angle.%20Of%20the%20two%20remaining%20sides%2C%20one%20is%0A%20%20%20%20**opposite**%20%24%5Ctheta%24%20and%20the%20other%20is%20**adjacent**%20to%20it.%0A%0A%20%20%20%20If%20we%20enlarge%20the%20triangle%20without%20changing%20its%20angles%2C%20all%20three%20sides%0A%20%20%20%20grow%20by%20the%20same%20factor.%20Their%20ratios%20stay%20the%20same.%20Those%20ratios%20define%0A%20%20%20%20the%20trigonometric%20functions%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%0A%20%20%20%20%5Csin%5Ctheta%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Ctext%7Bopposite%7D%7D%7B%5Ctext%7Bhypotenuse%7D%7D%2C%5Cqquad%0A%20%20%20%20%5Ccos%5Ctheta%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Ctext%7Badjacent%7D%7D%7B%5Ctext%7Bhypotenuse%7D%7D%2C%5Cqquad%0A%20%20%20%20%5Ctan%5Ctheta%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Ctext%7Bopposite%7D%7D%7B%5Ctext%7Badjacent%7D%7D.%0A%20%20%20%20%24%24%0A%0A%20%20%20%20Keep%20track%20of%20the%20angle%20you%20chose%3A%20changing%20to%20the%20other%20acute%20angle%0A%20%20%20%20exchanges%20the%20opposite%20and%20adjacent%20sides.%0A%0A%20%20%20%20**Guiding%20questions.**%20What%20happens%20to%20these%20ratios%20if%20every%20side%20is%0A%20%20%20%20measured%20in%20millimetres%20instead%20of%20centimetres%3F%20Can%20the%20sine%20of%20an%0A%20%20%20%20acute%20angle%20be%20larger%20than%20one%3F%20Use%20the%20triangle%20to%20explain%20your%20answers%0A%20%20%20%20before%20continuing.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.Html(%22%22%22%0A%20%20%20%20%3Csvg%20viewBox%3D%220%200%20460%20270%22%20width%3D%22100%25%22%20style%3D%22max-width%3A460px%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20role%3D%22img%22%20aria-label%3D%22Right%20triangle%20with%20theta%20at%20the%20lower%20left%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20adjacent%20side%20along%20the%20bottom%2C%20opposite%20side%20at%20the%20right%2C%20and%20hypotenuse%20sloping%20upward.%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%3Cg%20fill%3D%22none%22%20stroke%3D%22currentColor%22%20stroke-width%3D%222%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cpath%20d%3D%22M%2055%20215%20L%20345%20215%20L%20345%2045%20Z%22%2F%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cpath%20d%3D%22M%20329%20215%20L%20329%20199%20L%20345%20199%22%2F%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cpath%20d%3D%22M%20100%20215%20A%2045%2045%200%200%200%2094%20192%22%2F%3E%0A%20%20%20%20%20%20%3C%2Fg%3E%0A%20%20%20%20%20%20%3Cg%20fill%3D%22currentColor%22%20font-family%3D%22sans-serif%22%20font-size%3D%2216%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Ctext%20x%3D%22110%22%20y%3D%22202%22%3E%CE%B8%3C%2Ftext%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Ctext%20x%3D%22155%22%20y%3D%22245%22%3Eadjacent%3C%2Ftext%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Ctext%20x%3D%22355%22%20y%3D%22135%22%3Eopposite%3C%2Ftext%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Ctext%20x%3D%22150%22%20y%3D%22105%22%3Ehypotenuse%3C%2Ftext%3E%0A%20%20%20%20%20%20%3C%2Fg%3E%0A%20%20%20%20%3C%2Fsvg%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Exercise%201%20%E2%80%94%20Enlarge%20the%20triangle.**%20The%20opposite%2C%20adjacent%2C%20and%0A%20%20%20%20hypotenuse%20lengths%20are%203%2C%204%2C%20and%205%20cm.%20Find%20%24%5Csin%5Ctheta%24%2C%20%24%5Ccos%5Ctheta%24%2C%0A%20%20%20%20and%20%24%5Ctan%5Ctheta%24.%20Now%20double%20all%20three%20lengths.%20Which%20ratios%20change%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Solution%20to%20Exercise%201%0A%0A%20%20%20%20The%20ratios%20are%20%24%5Csin%5Ctheta%3D3%2F5%3D0.6%24%2C%20%24%5Ccos%5Ctheta%3D4%2F5%3D0.8%24%2C%0A%20%20%20%20and%20%24%5Ctan%5Ctheta%3D3%2F4%3D0.75%24.%20None%20has%20a%20unit%3A%20the%20length%20units%20cancel.%0A%0A%20%20%20%20After%20doubling%20the%20sides%2C%20the%20ratios%20are%20%246%2F10%24%2C%20%248%2F10%24%2C%20and%20%246%2F8%24%2C%0A%20%20%20%20respectively.%20All%20are%20unchanged.%20The%20angle%20determines%20the%20ratios%3B%0A%20%20%20%20the%20size%20of%20the%20triangle%20does%20not.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20From%20a%20length%20to%20two%20distances%0A%0A%20%20%20%20Return%20to%20the%20forearm.%20Represent%20it%20by%20a%20straight%20segment%20of%20length%20%24L%24%0A%20%20%20%20at%20an%20acute%20angle%20%24%5Ctheta%24%20above%20the%20horizontal.%20Its%20horizontal%20distance%0A%20%20%20%20%24x%24%20is%20the%20adjacent%20side%2C%20and%20its%20vertical%20distance%20%24y%24%20is%20the%20opposite%0A%20%20%20%20side.%20Multiplying%20the%20ratios%20by%20%24L%24%20gives%0A%0A%20%20%20%20%24%24x%3DL%5Ccos%5Ctheta%2C%5Cqquad%20y%3DL%5Csin%5Ctheta.%24%24%0A%0A%20%20%20%20**Exercise%202%20%E2%80%94%20Locate%20the%20hand.**%20For%20%24L%3D0.30%24%20m%20and%0A%20%20%20%20%24%5Ctheta%3D30%5E%5Ccirc%24%2C%20find%20%24x%24%20and%20%24y%24.%20Use%0A%20%20%20%20%24%5Csin30%5E%5Ccirc%3D1%2F2%24%20and%20%24%5Ccos30%5E%5Ccirc%3D%5Csqrt%7B3%7D%2F2%24.%0A%20%20%20%20Which%20distance%20is%20larger%2C%20and%20does%20that%20fit%20your%20sketch%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Solution%20to%20Exercise%202%0A%0A%20%20%20%20%24%24x%3D0.30%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D%5Capprox0.260%5C%20%5Ctext%7Bm%7D%2C%5Cqquad%0A%20%20%20%20y%3D0.30%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%3D0.150%5C%20%5Ctext%7Bm%7D.%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20horizontal%20distance%20is%20larger.%20At%20%2430%5E%5Ccirc%24%20above%20the%0A%20%20%20%20horizontal%20the%20segment%20is%20closer%20to%20horizontal%20than%20vertical%2C%0A%20%20%20%20which%20agrees%20with%20the%20sketch.%20These%20are%20distances%20from%20the%20elbow%2C%0A%20%20%20%20not%20absolute%20coordinates%20in%20the%20laboratory.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Radians%3A%20measure%20an%20angle%20with%20an%20arc%0A%0A%20%20%20%20Why%20use%20radians%20when%20degrees%20already%20describe%20angles%3F%20Radians%20connect%0A%20%20%20%20an%20angle%20directly%20to%20lengths.%20Draw%20a%20circle%20of%20radius%20%24r%24%20and%20an%20arc%0A%20%20%20%20of%20length%20%24s%24.%20The%20angle%20subtended%20by%20that%20arc%2C%20in%20radians%2C%20is%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Ctheta%3D%5Cfrac%7Bs%7D%7Br%7D.%24%24%0A%0A%20%20%20%20An%20arc%20as%20long%20as%20the%20radius%20gives%20an%20angle%20of%20**1%20radian**.%20A%20full%0A%20%20%20%20circle%20has%20arc%20length%20%242%5Cpi%20r%24%2C%20so%20a%20full%20turn%20is%20%242%5Cpi%24%20radians%20or%0A%20%20%20%20%24360%5E%5Ccirc%24.%20Consequently%2C%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Ctheta_%7B%5Cmathrm%7Brad%7D%7D%3D%5Ctheta_%7B%5Cmathrm%7Bdeg%7D%7D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B180%7D%2C%5Cqquad%0A%20%20%20%20%5Ctheta_%7B%5Cmathrm%7Bdeg%7D%7D%3D%5Ctheta_%7B%5Cmathrm%7Brad%7D%7D%5Cfrac%7B180%7D%7B%5Cpi%7D.%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20ratio%20%24s%2Fr%24%20is%20dimensionless%2C%20but%20writing%20%E2%80%9Crad%E2%80%9D%20helps%20distinguish%0A%20%20%20%20it%20from%20a%20number%20expressed%20in%20degrees.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.Html(%22%22%22%0A%20%20%20%20%3Csvg%20viewBox%3D%220%200%20420%20260%22%20width%3D%22100%25%22%20style%3D%22max-width%3A420px%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20role%3D%22img%22%20aria-label%3D%22Circular%20sector%20of%20one%20radian%3A%20both%20radii%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20have%20length%20r%20and%20the%20connecting%20circular%20arc%20has%20length%20s%20equal%20to%20r.%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%3Cg%20fill%3D%22none%22%20stroke%3D%22currentColor%22%20stroke-width%3D%222%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cpath%20d%3D%22M%2065%20215%20L%20245%20215%20M%2065%20215%20L%20162.25%2063.54%22%2F%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cpath%20d%3D%22M%20245%20215%20A%20180%20180%200%200%200%20162.25%2063.54%22%20stroke-width%3D%224%22%2F%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Cpath%20d%3D%22M%20105%20215%20A%2040%2040%200%200%200%2086.61%20181.34%22%2F%3E%0A%20%20%20%20%20%20%3C%2Fg%3E%0A%20%20%20%20%20%20%3Cg%20fill%3D%22currentColor%22%20font-family%3D%22sans-serif%22%20font-size%3D%2216%22%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Ctext%20x%3D%22150%22%20y%3D%22240%22%3Er%3C%2Ftext%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Ctext%20x%3D%2290%22%20y%3D%22130%22%3Er%3C%2Ftext%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Ctext%20x%3D%22253%22%20y%3D%22130%22%3Earc%20length%20s%20%3D%20r%3C%2Ftext%3E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%3Ctext%20x%3D%22115%22%20y%3D%22185%22%3E1%20rad%3C%2Ftext%3E%0A%20%20%20%20%20%20%3C%2Fg%3E%0A%20%20%20%20%3C%2Fsvg%3E%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Exercise%203%20%E2%80%94%20Arc%20length%20and%20angle.**%20An%20arc%20is%200.20%20m%20long%20on%20a%0A%20%20%20%20circle%20of%20radius%200.40%20m.%20What%20angle%20does%20it%20subtend%2C%20in%20radians%20and%0A%20%20%20%20degrees%3F%20Separately%2C%20convert%20%2460%5E%5Ccirc%24%20to%20radians.%20If%20you%20double%20both%0A%20%20%20%20the%20radius%20and%20arc%20length%2C%20does%20the%20angle%20change%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Solution%20to%20Exercise%203%0A%0A%20%20%20%20The%20first%20angle%20is%20%240.20%2F0.40%3D0.50%24%20rad%2C%20or%0A%20%20%20%20%240.50%5Ctimes180%2F%5Cpi%5Capprox28.65%5E%5Ccirc%24.%0A%20%20%20%20The%20second%20is%20%2460%5Cpi%2F180%3D%5Cpi%2F3%5Capprox1.0472%24%20rad.%0A%0A%20%20%20%20Doubling%20both%20lengths%20leaves%20their%20ratio%20unchanged%3A%0A%20%20%20%20%240.40%2F0.80%3D0.50%24%20rad.%20Just%20as%20with%20similar%20triangles%2C%20scaling%0A%20%20%20%20the%20drawing%20does%20not%20change%20its%20angle.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Common%20trigonometric%20values%0A%0A%20%20%20%20Here%20are%20useful%20exact%20values.%20At%20%240%5E%5Ccirc%24%20and%20%2490%5E%5Ccirc%24%2C%20read%20the%0A%20%20%20%20sine%20and%20cosine%20entries%20as%20the%20limiting%20values%20of%20the%20triangle%20ratios.%0A%0A%20%20%20%20%7C%20%24%5Ctheta%24%20(degrees)%20%7C%20%24%5Ctheta%24%20(radians)%20%7C%20%24%5Csin%5Ctheta%24%20%7C%20%24%5Ccos%5Ctheta%24%20%7C%20%24%5Ctan%5Ctheta%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20---%20%7C%20---%20%7C%20---%20%7C%20---%20%7C%20---%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%240%5E%5Ccirc%24%20%7C%20%240%24%20%7C%20%240%24%20%7C%20%241%24%20%7C%20%240%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%2430%5E%5Ccirc%24%20%7C%20%24%5Cpi%2F6%24%20%7C%20%241%2F2%24%20%7C%20%24%5Csqrt%7B3%7D%2F2%24%20%7C%20%241%2F%5Csqrt%7B3%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%2445%5E%5Ccirc%24%20%7C%20%24%5Cpi%2F4%24%20%7C%20%24%5Csqrt%7B2%7D%2F2%24%20%7C%20%24%5Csqrt%7B2%7D%2F2%24%20%7C%20%241%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%2460%5E%5Ccirc%24%20%7C%20%24%5Cpi%2F3%24%20%7C%20%24%5Csqrt%7B3%7D%2F2%24%20%7C%20%241%2F2%24%20%7C%20%24%5Csqrt%7B3%7D%24%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%2490%5E%5Ccirc%24%20%7C%20%24%5Cpi%2F2%24%20%7C%20%241%24%20%7C%20%240%24%20%7C%20undefined%20%7C%0A%0A%20%20%20%20Notice%20that%20%24%5Ctan%5Ctheta%3D%5Csin%5Ctheta%2F%5Ccos%5Ctheta%24%20wherever%20the%0A%20%20%20%20denominator%20is%20nonzero.%20At%20exactly%20%2490%5E%5Ccirc%24%2C%20tangent%20is%20undefined%3A%0A%20%20%20%20division%20by%20zero%20does%20not%20give%20a%20real%20number.%20As%20an%20acute%20angle%0A%20%20%20%20approaches%20%2490%5E%5Ccirc%24%2C%20its%20tangent%20grows%20without%20bound.%0A%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Check%20a%20prediction%20with%20Python%0A%0A%20%20%20%20Python's%20mathematical%20functions%20expect%20**radians**.%20We%20convert%20the%0A%20%20%20%20slider's%20angle%20before%20evaluating%20them.%20Before%20moving%20the%20slider%20from%0A%20%20%20%20%2430%5E%5Ccirc%24%20to%20%2460%5E%5Ccirc%24%2C%20predict%20which%20two%20values%20exchange%20places.%0A%20%20%20%20Check%20your%20prediction%20against%20the%20exact-value%20table.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20angle_degrees%20%3D%20mo.ui.slider(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20start%3D0%2C%20stop%3D90%2C%20step%3D1%2C%20value%3D30%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20label%3D%22Angle%20(degrees)%22%2C%20show_value%3DTrue%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20angle_degrees%0A%20%20%20%20return%20(angle_degrees%2C)%0A%0A%0A%40app.cell%0Adef%20_(angle_degrees%2C%20math%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20_degrees%20%3D%20angle_degrees.value%0A%20%20%20%20_radians%20%3D%20math.radians(_degrees)%0A%20%20%20%20_sine%20%3D%20math.sin(_radians)%0A%20%20%20%20_cosine%20%3D%20math.cos(_radians)%0A%20%20%20%20%23%20Handle%20the%20exact%20endpoint%20explicitly%20instead%20of%20dividing%20by%20roundoff.%0A%20%20%20%20_tangent%20%3D%20%22undefined%22%20if%20_degrees%20%3D%3D%2090%20else%20f%22%7Bmath.tan(_radians)%3A.6f%7D%22%0A%20%20%20%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20At%20**%7B_degrees%7D%C2%B0**%20(%7B_radians%3A.6f%7D%20rad)%3A%0A%0A%20%20%20%20%7C%20Sine%20%7C%20Cosine%20%7C%20Tangent%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20---%20%7C%20---%20%7C%20---%20%7C%0A%20%20%20%20%7C%20%7B_sine%3A.6f%7D%20%7C%20%7B_cosine%3A.6f%7D%20%7C%20%7B_tangent%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Exercise%204%20%E2%80%94%20Check%20the%20table%2C%20not%20just%20the%20calculator.**%20Use%20the%0A%20%20%20%20sine%20and%20cosine%20entries%20to%20calculate%20%24%5Ctan30%5E%5Ccirc%24%20exactly.%20Then%0A%20%20%20%20explain%20why%20a%20computer%20might%20return%20a%20very%20large%20finite%20number%20when%0A%20%20%20%20computing%20the%20tangent%20of%20its%20stored%20approximation%20of%20%24%5Cpi%2F2%24%2C%20even%0A%20%20%20%20though%20%24%5Ctan90%5E%5Ccirc%24%20is%20undefined.%0A%20%20%20%20Hint%3A%20a%20computer%20stores%20only%20a%20finite-precision%20approximation%20of%20%24%5Cpi%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Solution%20to%20Exercise%204%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Ctan30%5E%5Ccirc%3D%5Cfrac%7B1%2F2%7D%7B%5Csqrt%7B3%7D%2F2%7D%0A%20%20%20%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%5Capprox0.57735.%24%24%0A%0A%20%20%20%20The%20stored%20approximation%20of%20%24%5Cpi%2F2%24%20is%20not%20the%20exact%20angle.%0A%20%20%20%20Its%20computed%20cosine%20is%20close%20to%20zero%2C%20rather%20than%20exactly%20zero%2C%0A%20%20%20%20and%20the%20computed%20tangent%20can%20be%20enormous.%20That%20finite%20result%20is%0A%20%20%20%20not%20a%20mathematical%20value%20for%20%24%5Ctan90%5E%5Ccirc%24.%20The%20slider%20handles%0A%20%20%20%20its%20known%20%2490%5E%5Ccirc%24%20endpoint%20explicitly%20and%20displays%20%E2%80%9Cundefined%E2%80%9D.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Trigonometric%20identities%3A%20another%20way%20to%20check%0A%0A%20%20%20%20An%20identity%20is%20an%20equality%20that%20holds%20for%20every%20angle%20in%20its%20domain.%0A%20%20%20%20These%20identities%20let%20us%20calculate%20a%20value%20in%20more%20than%20one%20way%3A%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Csin%5E2%5Calpha%2B%5Ccos%5E2%5Calpha%3D1%2C%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Csin(2%5Calpha)%3D2%5Csin%5Calpha%5Ccos%5Calpha%2C%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Ccos(2%5Calpha)%3D%5Ccos%5E2%5Calpha-%5Csin%5E2%5Calpha%2C%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Csin(%5Calpha%5Cpm%5Cbeta)%0A%20%20%20%20%20%20%3D%5Csin%5Calpha%5Ccos%5Cbeta%5Cpm%5Ccos%5Calpha%5Csin%5Cbeta%2C%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Ccos(%5Calpha%5Cpm%5Cbeta)%0A%20%20%20%20%20%20%3D%5Ccos%5Calpha%5Ccos%5Cbeta%5Cmp%5Csin%5Calpha%5Csin%5Cbeta.%24%24%0A%0A%20%20%20%20In%20the%20last%20identity%2C%20adding%20the%20angles%20means%20subtracting%20the%20sine%0A%20%20%20%20product%3B%20subtracting%20the%20angles%20means%20adding%20it.%20Both%20factors%20in%20that%0A%20%20%20%20product%20are%20sines.%20Setting%20%24%5Cbeta%3D%5Calpha%24%20recovers%20the%20double-angle%0A%20%20%20%20identities%20above.%0A%0A%20%20%20%20**Exercise%205%20%E2%80%94%20Build%20an%20unfamiliar%20value%20from%20familiar%20ones.**%20Use%0A%20%20%20%20%2475%5E%5Ccirc%3D45%5E%5Ccirc%2B30%5E%5Ccirc%24%20and%20the%20table%20to%20find%20exact%20expressions%0A%20%20%20%20for%20%24%5Csin75%5E%5Ccirc%24%20and%20%24%5Ccos75%5E%5Ccirc%24.%20Then%20use%20the%20cosine%0A%20%20%20%20double-angle%20identity%20at%20%24%5Calpha%3D45%5E%5Ccirc%24%20to%20recover%20%24%5Ccos90%5E%5Ccirc%24.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(math%2C%20mo)%3A%0A%20%20%20%20_angle%20%3D%20math.radians(75)%0A%20%20%20%20mo.accordion(%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7B%22Solution%20to%20Exercise%205%22%3A%20mo.vstack(%5Bmo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%24%24%5Csin75%5E%5Ccirc%0A%20%20%20%20%20%20%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20%2B%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%0A%20%20%20%20%20%20%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B6%7D%2B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B4%7D%5Capprox0.965926.%24%24%0A%0A%20%20%20%20%24%24%5Ccos75%5E%5Ccirc%0A%20%20%20%20%20%20%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D%0A%20%20%20%20%20%20%20-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%0A%20%20%20%20%20%20%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B6%7D-%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B4%7D%5Capprox0.258819.%24%24%0A%0A%20%20%20%20For%20the%20double%20angle%2C%0A%20%20%20%20%24%5Ccos90%5E%5Ccirc%3D(%5Csqrt%7B2%7D%2F2)%5E2-(%5Csqrt%7B2%7D%2F2)%5E2%3D0%24.%0A%20%20%20%20Notice%20that%20the%20sine%20at%20%2475%5E%5Ccirc%24%20is%20larger%20than%20the%20cosine%2C%0A%20%20%20%20as%20expected%20for%20a%20segment%20closer%20to%20vertical%20than%20horizontal.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%2C%20mo.md(f%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20**Numerical%20check%20with%20Python.**%20The%20two%20ways%20of%20computing%20each%0A%20%20%20%20%20%20%20%20value%20agree%20to%20the%20six%20decimal%20places%20displayed%3A%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Value%20%7C%20Trigonometric%20function%20%7C%20Expression%20with%20square%20roots%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20---%20%7C%20---%20%7C%20---%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Sine%20of%2075%C2%B0%20%7C%20%7Bmath.sin(_angle)%3A.6f%7D%20%7C%20%7B(math.sqrt(6)%20%2B%20math.sqrt(2))%20%2F%204%3A.6f%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%7C%20Cosine%20of%2075%C2%B0%20%7C%20%7Bmath.cos(_angle)%3A.6f%7D%20%7C%20%7B(math.sqrt(6)%20-%20math.sqrt(2))%20%2F%204%3A.6f%7D%20%7C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22)%5D)%7D%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20%20expanded%3DFalse%2C%0A%20%20%20%20)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Put%20the%20pieces%20together%0A%0A%20%20%20%20**Exercise%206%20%E2%80%94%20Check%20a%20reconstructed%20length.**%20A%20straight%20segment%20is%0A%20%20%20%200.50%20m%20long%20and%20makes%20an%20angle%20of%20%2460%5E%5Ccirc%24%20above%20the%20horizontal.%0A%20%20%20%20Find%20its%20horizontal%20and%20vertical%20distances%2C%20%24x%24%20and%20%24y%24%2C%20then%20check%0A%20%20%20%20that%20%24x%5E2%2By%5E2%3DL%5E2%24.%20Which%20identity%20explains%20why%20this%20check%20works%20for%0A%20%20%20%20every%20acute%20angle%3F%20If%20the%20angle%20changes%20to%20%2430%5E%5Ccirc%24%20while%20the%0A%20%20%20%20length%20stays%20fixed%2C%20predict%20the%20new%20distances%20without%20starting%20again.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Solution%20to%20Exercise%206%0A%0A%20%20%20%20At%20%2460%5E%5Ccirc%24%2C%20%24x%3D0.50%2F2%3D0.25%24%20m%20and%0A%20%20%20%20%24y%3D0.50%5Csqrt%7B3%7D%2F2%3D%5Csqrt%7B3%7D%2F4%5Capprox0.433%24%20m.%0A%0A%20%20%20%20%24%24x%5E2%2By%5E2%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B16%7D%2B%5Cfrac%7B3%7D%7B16%7D%0A%20%20%20%20%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%3DL%5E2%5Cquad%5Ctext%7B(in%20m%C2%B2)%7D.%24%24%0A%0A%20%20%20%20More%20generally%2C%0A%20%20%20%20%24x%5E2%2By%5E2%3DL%5E2(%5Ccos%5E2%5Ctheta%2B%5Csin%5E2%5Ctheta)%3DL%5E2%24.%0A%20%20%20%20Use%20the%20unrounded%20values%20when%20checking%20this%20numerically.%0A%0A%20%20%20%20At%20%2430%5E%5Ccirc%24%2C%20sine%20and%20cosine%20exchange%20values%3A%20the%20horizontal%0A%20%20%20%20distance%20becomes%20approximately%200.433%20m%20and%20the%20vertical%20distance%0A%20%20%20%20becomes%200.25%20m.%20The%20segment's%20length%20is%20still%200.50%20m.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Checkpoint%20questions%0A%0A%20%20%20%20Pause%20here%20before%20the%20problems.%20Try%20to%20answer%20without%20scrolling%20back.%0A%0A%20%20%20%201.%20Return%20to%20your%20sketch%20from%20Challenge%200.%20As%20the%20forearm%20moves%20from%0A%20%20%20%20%20%20%20%2430%5E%5Ccirc%24%20to%20%2460%5E%5Ccirc%24%2C%20which%20distance%20increases%20and%20which%20decreases%3F%0A%20%20%20%20%20%20%20What%20happens%20to%20the%20length%20of%20the%20forearm%3F%0A%20%20%20%202.%20Why%20do%20similar%20triangles%20give%20the%20same%20trigonometric%20ratios%20even%0A%20%20%20%20%20%20%20when%20their%20side%20lengths%20differ%3F%20Does%20changing%20the%20length%20unit%20alter%0A%20%20%20%20%20%20%20those%20ratios%3F%20Can%20the%20sine%20of%20an%20acute%20angle%20exceed%20one%3F%0A%20%20%20%203.%20What%20does%20an%20angle%20of%20one%20radian%20mean%20geometrically%3F%20What%20must%20you%20do%0A%20%20%20%20%20%20%20before%20passing%20an%20angle%20measured%20in%20degrees%20to%20Python's%20%60math.sin%60%3F%0A%20%20%20%204.%20Why%20is%20%24%5Ctan90%5E%5Ccirc%24%20undefined%2C%20even%20if%20a%20numerical%20calculation%0A%20%20%20%20%20%20%20returns%20a%20very%20large%20value%3F%0A%20%20%20%205.%20In%20the%20cosine%20angle-sum%20identity%2C%20which%20sign%20connects%20the%20two%20products%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20and%20which%20functions%20appear%20in%20the%20second%20product%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Answers%20to%20the%20checkpoint%20questions%0A%0A%20%20%20%201.%20The%20vertical%20distance%20increases%2C%20the%20horizontal%20distance%20decreases%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20and%20the%20two%20distances%20exchange%20values.%20The%20forearm's%20length%20stays%0A%20%20%20%20%20%20%20the%20same.%0A%20%20%20%202.%20All%20sides%20scale%20by%20the%20same%20factor%2C%20which%20cancels%20in%20each%20ratio.%0A%20%20%20%20%20%20%20Changing%20the%20length%20unit%20also%20leaves%20the%20ratios%20unchanged.%20For%20an%0A%20%20%20%20%20%20%20acute%20angle%2C%20the%20opposite%20side%20is%20shorter%20than%20the%20hypotenuse%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20so%20its%20sine%20is%20less%20than%20one.%0A%20%20%20%203.%20The%20arc%20length%20equals%20the%20radius.%20Convert%20degrees%20to%20radians%2C%0A%20%20%20%20%20%20%20for%20example%20with%20%60math.radians%60%2C%20before%20evaluating%20%60math.sin%60.%0A%20%20%20%204.%20The%20exact%20cosine%20is%20zero%2C%20so%20the%20ratio%20is%20undefined.%20A%20computer%0A%20%20%20%20%20%20%20uses%20an%20approximation%20of%20the%20angle%20and%20need%20not%20obtain%20an%20exact%0A%20%20%20%20%20%20%20zero%20for%20its%20cosine.%0A%20%20%20%205.%20Subtraction%3A%20the%20second%20product%20is%20%24%5Csin%5Calpha%5Csin%5Cbeta%24.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Problems%0A%0A%20%20%20%20Use%20these%20for%20independent%20practice.%20Sketch%20the%20geometry%2C%20keep%20track%20of%0A%20%20%20%20units%2C%20and%20check%20your%20result%20before%20opening%20an%20answer.%20Only%20final%0A%20%20%20%20answers%20are%20provided%20here%3B%20the%20earlier%20exercises%20contain%20worked%20solutions.%0A%0A%20%20%20%20**Problem%201%20%E2%80%94%20Work%20backwards%20from%20distances.**%20A%20straight%20segment%20has%0A%20%20%20%20horizontal%20and%20vertical%20distances%20of%200.24%20m%20and%200.18%20m%2C%20respectively.%0A%20%20%20%20Find%20its%20length%20and%20the%20sine%2C%20cosine%2C%20and%20tangent%20of%20its%20acute%20angle%0A%20%20%20%20above%20the%20horizontal.%20You%20do%20not%20need%20to%20calculate%20the%20angle%20itself.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Answer%20to%20Problem%201%0A%0A%20%20%20%20%24L%3D0.30%24%20m%3B%20%24%5Csin%5Ctheta%3D0.60%24%3B%0A%20%20%20%20%24%5Ccos%5Ctheta%3D0.80%24%3B%20%24%5Ctan%5Ctheta%3D0.75%24.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Problem%202%20%E2%80%94%20Use%20an%20angle%20difference.**%20Use%20%2415%5E%5Ccirc%3D45%5E%5Ccirc-30%5E%5Ccirc%24%0A%20%20%20%20to%20find%20exact%20expressions%20for%20%24%5Csin15%5E%5Ccirc%24%20and%20%24%5Ccos15%5E%5Ccirc%24.%0A%20%20%20%20Check%20their%20approximate%20values%20with%20the%20slider.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Answer%20to%20Problem%202%0A%0A%20%20%20%20%24%5Csin15%5E%5Ccirc%3D(%5Csqrt%7B6%7D-%5Csqrt%7B2%7D)%2F4%5Capprox0.258819%24.%0A%0A%20%20%20%20%24%5Ccos15%5E%5Ccirc%3D(%5Csqrt%7B6%7D%2B%5Csqrt%7B2%7D)%2F4%5Capprox0.965926%24.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20**Problem%203%20%E2%80%94%20A%20length%20check%20that%20misses%20a%20mistake.**%20A%20colleague%20wants%0A%20%20%20%20the%20horizontal%20and%20vertical%20distances%20of%20a%200.40%20m%20segment%20at%20%2460%5E%5Ccirc%24%0A%20%20%20%20above%20the%20horizontal.%20They%20calculate%20%60x%20%3D%200.40%20*%20math.cos(60)%60%20and%0A%20%20%20%20%60y%20%3D%200.40%20*%20math.sin(60)%60.%20Identify%20the%20mistake%20and%20give%20the%20correct%0A%20%20%20%20distances.%20Would%20checking%20only%20that%20%24x%5E2%2By%5E2%3D0.40%5E2%24%20reveal%20the%20mistake%3F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%20details%20%7C%20Answer%20to%20Problem%203%0A%0A%20%20%20%20The%20code%20interprets%2060%20as%20radians%3B%20use%20%60math.radians(60)%60.%0A%20%20%20%20The%20correct%20distances%20are%20%24x%3D0.200%24%20m%20and%0A%20%20%20%20%24y%3D%5Csqrt%7B3%7D%2F5%5C%20%5Ctext%7Bm%7D%5Capprox0.346410%24%20m.%0A%20%20%20%20The%20length%20check%20alone%20does%20**not**%20reveal%20the%20mistake.%0A%20%20%20%20%2F%2F%2F%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20Go%20deeper%0A%0A%20%20%20%20Choose%20a%20resource%20that%20answers%20a%20question%20you%20still%20have.%20These%20are%0A%20%20%20%20optional%20next%20steps%2C%20not%20prerequisites%20for%20the%20problems%20above.%0A%0A%20%20%20%20-%20%5BProofs%20of%20trigonometric%20identities%5D(https%3A%2F%2Fen.wikipedia.org%2Fwiki%2FProofs_of_trigonometric_identities)%3A%20revisit%20the%20angle-sum%20and%20double-angle%20identities%20and%20see%20how%20they%20can%20be%20derived.%0A%20%20%20%20-%20%5BScalar%20and%20vector%5D(https%3A%2F%2Fmolab.marimo.io%2Fgithub%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fnotebooks%2Fscalar_vector.py)%3A%20connect%20the%20horizontal%20and%20vertical%20distances%20in%20this%20guide%20to%20vector%20components.%0A%20%20%20%20-%20%5BRigid-body%20transformations%20in%202D%5D(https%3A%2F%2Fmolab.marimo.io%2Fgithub%2FBMClab%2FBMC%2Fblob%2Fmaster%2Fnotebooks%2Ftransformation_2d.py)%3A%20see%20where%20the%20same%20sines%20and%20cosines%20appear%20when%20coordinates%20are%20rotated.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%23%20Video%20lectures%20on%20the%20Internet%0A%0A%20%20%20%20-%20%5BBasic%20trigonometry%20%E2%80%94%20Khan%20Academy%5D(https%3A%2F%2Fwww.youtube.com%2Fwatch%3Fv%3DF21S9Wpi0y8)%3A%20a%20visual%20introduction%20to%20sine%2C%20cosine%2C%20and%20tangent%20in%20right%20triangles.%0A%20%20%20%20-%20%5BIntroduction%20to%20radians%20%E2%80%94%20Khan%20Academy%5D(https%3A%2F%2Fwww.khanacademy.org%2Fmath%2Fgeometry%2Fhs-geo-trig%2Fhs-geo-trig-functions%2Fv%2Fintroduction-to-radians)%3A%20connect%20arc%20length%2C%20radians%2C%20and%20degrees.%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0A%40app.cell(hide_code%3DTrue)%0Adef%20_(mo)%3A%0A%20%20%20%20mo.md(r%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%23%20References%0A%0A%20%20%20%20-%20%5BTrigonometric%20functions%20%E2%80%94%20Wikipedia%5D(https%3A%2F%2Fen.wikipedia.org%2Fwiki%2FTrigonometric_functions).%0A%0A%20%20%20%20-%20%5BRadian%20%E2%80%94%20Wikipedia%5D(https%3A%2F%2Fen.wikipedia.org%2Fwiki%2FRadian).%0A%0A%20%20%20%20-%20%5BTrigonometric%20identities%20%E2%80%94%20Wikipedia%5D(https%3A%2F%2Fen.wikipedia.org%2Fwiki%2FList_of_trigonometric_identities).%0A%0A%20%20%20%20-%20%5BTrigonometry%20%E2%80%94%20Coddy%5D(https%3A%2F%2Fcoddy.tech%2Flanding%2Ftrigonometry).%0A%0A%20%20%20%20-%20%5BPython's%20mathematical%20functions%5D(https%3A%2F%2Fdocs.python.org%2F3%2Flibrary%2Fmath.html%23trigonometric-functions).%0A%20%20%20%20%22%22%22)%0A%20%20%20%20return%0A%0A%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20app.run()%0A